ガロア表現から作るいろいろなゼータ関数

ゼータ Advent Calendar 2019 の5日目の記事です。

世の中には、色々なゼータ関数があります。

・リーマンゼータ関数
・ディリクレゼータ関数
・ハッセ・ヴェイユゼータ関数
・アルティンゼータ関数
・合同ゼータ関数
・セルバーグゼータ関数

tsujimotterのノートブックでもこれまでいくつかのゼータ関数を取り扱ってきました。その中の多くは、実は「ガロア表現」と呼ばれるものから作ることができます。そういうお話をしたいと思います。今日の記事では、上のリストのうち、上から４つが登場します。

今回の記事は以前から温めていた内容なのですが、マスパーティというイベントの「ロマンティック数学ナイトプライム@ゼータ」という企画で、ゼータ熱が再燃しました。その後、ゼータアドベントカレンダーが企画されたことで「このタイミングで公開しないでいつ公開するんだ」と思い公開に至ったという経緯です。

ロマ数プライムゼータは、次のURLから見れますので、お時間のあるときにぜひみてください。

Part 3: 数学の楽しみ方の見本市「マスパーティ」（10/20 10:45 ～ 19:30）
https://www.youtube.com/watch?v=75dVmSWxXeE&t=17025s

内容はとても難しいですが、ガロア表現からゼータ関数がバンバンできあがる様子が楽しい記事になったと思います。よろしければお付き合いください。

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注意：
前回同様、今回の内容も非常に難しい内容となっております。
tsujimotterがまさに勉強中の「理解の最前線」を書いている記事となっていますので、内容も誤り等含んでいる可能性があります。

そのため、勉強する際は、私の記述をうのみにしないようお願いします。

なお、今回の記事は以下の伊藤先生のPDF「コホモロジー論とモチーフ」
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/hokudai200609.pdf

や、整数論サマースクール「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009proceeding.html

の内容を参考にしています。

ガロア表現の基本（準備編）

まず、ガロア表現について定義するところから始めたいと思います。しかし、さすがにそこから始めると長くなりすぎます。ということで今回は、「準備編」と題して事前に記事を用意しておきました。
tsujimotter.hatenablog.com

上記の記事では

群の作用・群の表現
ガロア表現
フロベニウスと関連する不変量

の３点について扱いました。

手短に内容を思い出すと、 $K$ を体、 $G_K$ をその絶対ガロア群、係数体 $E$ 、 $G_K$ が連続的に作用する $E$ -ベクトル空間を $V$ としたとき、連続準同型

$\rho\colon G_K \longrightarrow \operatorname{Aut}_E(V)$

をガロア表現というのでした。 $\rho$ に対して、係数体が複素数体 $\mathbb{C}$ のときアルティン表現、 $\ell$ 進体（ $\mathbb{Q}_\ell$ の有限次拡大体）のとき $\ell$ 進表現と呼びます。

また、 $G_K$ には、 $K$ の有限素点 $v$ に対して（幾何的）フロべニウス $\operatorname{Frob}_v \in G_K$ と呼ばれる元が存在し、これが重要な役割を果たすのでした。

なお、 $\operatorname{Frob}_v$ は $v$ に対して一意に定まりませんが（ $v$ の惰性群 $I_v$ に対して、"up to $I_v$ " で定まる）、そのトレース・行列式・固有多項式

$\operatorname{Tr}(\rho(\operatorname{Frob}_v; V^{I_v}) )$

$\operatorname{det}(\rho(\operatorname{Frob}_v; V^{I_v}) )$

$\operatorname{det}(I - T\rho(\operatorname{Frob}_v; V^{I_v}) )$

については一意に定まるという議論もしました。

以上の点について問題ない方はそのまま進んでいただければと思います。もう少し復習したいという方は、上の記事をどうぞ。（もちろん、わからないけど進んでみよう、というのもOKです！）

ガロア表現のゼータ関数

それでは、ここからが本題です！　いよいよガロア表現のゼータ関数を定義したいと思います。

リーマンゼータ関数などの代表的なゼータ関数は、ディリクレ級数の形で定義されることが多かったと思います。一方で、ガロア表現のゼータ関数は、 $K$ 上の有限素点の積（オイラー積）によって定義されます。その一つ一つの因子を局所因子といって、以下ではそれを定義したいと思います。

定義（ガロア表現のゼータ関数）

$K$ を代数体とし， $\rho$ をアルティン表現または $\ell$ 進表現のいずれかとし， $V$ をその表現空間とする．

ここで， $\rho$ が $\ell$ 進表現のときには次のことを注意する．まず，体の同型 $\overline{\mathbb{Q}_{\ell}} \simeq \mathbb{C}$ を固定する．これにより，任意の $g \in G_K$ に対して， $\rho(g)$ の固有多項式の係数はすべて複素数だと思うことにする．

また， $\ell$ 進表現のとき， $\rho$ は $\ell$ を割り切る素点で de Rham であると仮定する．（素点 $v$ が $\ell$ を割り切るとは、 $\kappa(v)$ の標数が $\ell$ を割り切ることをいう．）

このとき， $\rho$ のゼータ関数（あるいは $\rho$ に付随するL関数）がオイラー積

$\displaystyle L(\rho, s) = \prod_v L_v(\rho, s)$

により定義される．ただし， $v$ は $K$ のすべての有限素点をわたる．

$L(\rho, s)$ は局所因子といい，次の (1), (2) によって定義される．

(1) $\rho$ がアルティン表現であるか，または， $\rho$ が $\ell$ 進表現で $v$ が $\ell$ と互いに素であるとき：

$\displaystyle L_v(\rho, s) = \frac{1}{\operatorname{det}(1 - q_v^{-s} \rho(\operatorname{Frob}_v; V^{I_v} ) ) }$

(2) $\rho$ が $\ell$ 進表現で $v$ が $\ell$ を割り切るとき：

（難しいので省略）

いくつか気になるところはありますが、まずガロア表現が「アルティン表現」か「 $\ell$ 進表現」かで場合分けされていることに注意します。

アルティン表現の場合（係数体 $E$ が複素数体 $\mathbb{C}$ のとき）は、比較的定義は簡単で扱いやすいものとなっています。この場合のゼータ関数については、アルティンゼータ関数（あるいはアルティンL関数）という名前がついてます。

$\ell$ 進表現の場合はより複雑で、素点 $v$ が $\ell$ を割り切るかどうかで、さらに場合分けがなされます。

剰余体 $\# \kappa(v)$ は有限体なので、その標数は素数 $p$ となります。すなわち、 $p \neq \ell$ か $p = \ell$ かのいずれかということです。(1) は $p \neq \ell$ のとき、(2) は $p = \ell$ ですが、それぞれ局所因子の様子はまったく異なってしまうのですね。前者を $\ell$ 進、後者を $p$ 進と呼んで区別することがあるそうです。

(2) のケースについては、すなわちp進表現においては、ここまで以上に難しそうな概念（あくまで私の感想です）が必要のようです。私は全く理解していません。

(1) の方の局所因子の式の形について、もう少し考えてみましょう。分母の形はこのようになっていました。

$\displaystyle \operatorname{det}(1 - q_v^{-s} \rho(\operatorname{Frob}_v; V^{I_v} ) )$

これは、準備編の記事でも議論した行列 $\rho_v := \rho(\operatorname{Frob}_v; V^{I_v} )$ についての固有多項式

$\displaystyle \operatorname{det}(1 - T \rho_v )$

の変数 $T$ に $q_v^{-s}$ を代入したものとなっていますね。

準備編で議論したように、フロベニウス $\operatorname{Frob}_v$ は $v$ に対して一意に定まりませんが、固有多項式の方は $v$ に対して一意に定まります。これが、ゼータ関数の局所因子の分母に登場しているということですね。

オイラー積に代入すると

$\displaystyle L(\rho, s) = \prod_{v\not \mid \ell}\frac{1}{\operatorname{det}(1 - q_v^{-s} \rho_v )} \times \prod_{v \mid \ell} \left( \;\;\;\;\;\;\;\; \right)$

という形でかけることになりますね。まさに、ゼータ関数のオイラー積という感じがしてきませんか？

以下では、実際にそうなっていることを確認してみましょう！

具体例：リーマンゼータ関数

$V = \mathbb{C}$ とすると、 $V$ は1次元 $\mathbb{C}$ ベクトル空間です。 $\mathbb{Q}$ のガロア表現

$\rho\colon G_{\mathbb{Q}} \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{C}}(V) = \mathbb{C}^{\times}$

を考えると、これは1次元アルティン表現となります。

ここで特に自明表現

$\rho(g) = 1\;\;\;\; (\forall g \in G_K)$

を考えることにしましょう。

このとき、任意の有限素点 $v = p$ （素数）に対して、 $q_v = \# \kappa(v) = p$ より

$\displaystyle \begin{align} L_v(\rho, s) &= \frac{1}{\operatorname{det}(1 - q_v^{-s} \rho(\operatorname{Frob}_v; V^{I_v} ) )} \\ &= \frac{1}{1-p^{-s}}\end{align}$

のように局所因子が定まります。

よって

$\displaystyle L(\rho, s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} = \zeta(s)$

となり、リーマンゼータ関数が得られました。

具体例：ディリクレゼータ関数

$\bmod{N}$ のディリクレ指標

$\chi \colon (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times \longrightarrow \mathbb{C}^\times$

を考えます。 $\chi$ から1次元のアルティン表現が作れることを示したいと思います。

類体論より、 $\zeta_N$ を1の原始 $N$ 乗根として

$\begin{align} \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_N)/\mathbb{Q})\; &\xrightarrow{\;\sim{}\;} (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times \\ (\zeta_N \mapsto \zeta_N^{a})\;\;\; &\longmapsto \;\;\;\;\; \overline{a} \end{align}$

なる同型があることに着目します。

ここで $G_\mathbb{Q}$ の任意の元 $g \colon \overline{\mathbb{Q}} \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}$ に対して、 $g$ を $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ に制限します。すると

$g|_{\mathbb{Q}(\zeta_N)}\colon \mathbb{Q}(\zeta_N) \longrightarrow \mathbb{Q}(\zeta_N)$

なる $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ の自己同型が得られます。

よって

$\begin{eqnarray} G_{\mathbb{Q}} &\xrightarrow{\text{制限}}& \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_N)/\mathbb{Q}) &\xrightarrow{\;\sim{}\;} &(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times &\xrightarrow{\;\chi \;} & \;\;\mathbb{C}^\times &\xrightarrow{\text{逆数}} & \;\; \mathbb{C}^\times \\ g \;\; &\longmapsto & \;\;\;\;\;\; g|_{\mathbb{Q}(\zeta_N)} &&&&&& \\ && \;\;(\zeta_N \mapsto \zeta_N^{a}) &\longmapsto& \;\;\;\; \overline{a} &\longmapsto& \;\;\chi(\overline{a}) & \longmapsto & \; \chi(\overline{a})^{-1} \end{eqnarray}$

なる合成写像が定まります。これを $\rho$ としましょう。（最後に逆数をとる写像を入れている理由はあとでわかります。）

すると、 $\rho\colon G_\mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{C}^\times$ は連続準同型となり、これは $V = \mathbb{C}$ としたときの、1次元アルティン表現となります。

さて、ここでフロべニウスの行き先を考えます。

幾何的フロべニウス $\operatorname{Frob}_p \in G_\mathbb{Q}$ は $G_\mathbb{Q}$ 内で "up to $I_\mathbb{Q}$ " でしか定まりません。

一方で、これを $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ に制限したものは、 $p$ が $\mathbb{Q}(\zeta_N)/\mathbb{Q}$ で不分岐（すなわち、 $p \not\mid N$ ）のとき $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_N)/\mathbb{Q})$ の元を一意的に定めます。これを $\operatorname{Frob}_p|_{\mathbb{Q}(\zeta_N)}$ とします。

この辺の議論を思い出してください：
tsujimotter.hatenablog.com
tsujimotter.hatenablog.com

またこのとき

$\operatorname{Frob}_p^{-1}|_{\mathbb{Q}(\zeta_N)} \colon \zeta_N \longmapsto \zeta_N^p$

であることが知られています。

この辺の議論を思い出してください：
tsujimotter.hatenablog.com

以上により、先ほどの合成写像に対して、 $\operatorname{Frob}_p$ の行き先が次のように決まります：

$\begin{eqnarray} G_{\mathbb{Q}} \;\;\; &\xrightarrow{\text{制限}}& \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_N)/\mathbb{Q}) &\xrightarrow{\;\sim{}\;} &(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times &\xrightarrow{\;\chi \;} & \;\;\mathbb{C}^\times &\xrightarrow{\text{逆数}} & \;\; \mathbb{C}^\times \\ \operatorname{Frob}_p \; &\longmapsto & \;\;\;\; \operatorname{Frob}_p|_{\mathbb{Q}(\zeta_N)} &&&&&& \\ && \;\;(\zeta_N \mapsto \zeta_N^{p})^{-1} &\longmapsto& \;\;\;\; \overline{p}^{-1} &\longmapsto& \; \chi(\overline{p})^{-1} & \longmapsto & \; \chi(\overline{p}) \end{eqnarray}$

したがって、結論としては

$\rho(\operatorname{Frob}_p) = \chi(\overline{p})$

が成り立ちます。

ここまでの議論で、合成写像 $\rho$ の定義に「逆数をとる写像」を入れた理由がわかったでしょう。我々は幾何的フロべニウス

$\operatorname{Frob}_p\colon x \mapsto x^{1/p}$

を用いて議論を展開してきました。しかし、 $\zeta_N \mapsto \zeta_N^{p}$ に対応するのは数論的フロべニウス

$\operatorname{Frob}_p^{-1} \colon x \mapsto x^{p}$

の方だったのです。幾何的フロべニウスは、数論的フロべニウスのちょうど逆元にあたります。

一見、数論的フロべニウスの方が自然に思えますが、これを元に議論していくとゼータ関数の定義に「数論的フロべニウスの逆元」が出てきてしまいます。もちろん、このような流儀もありますが、今回は伊藤先生の記事にならって、幾何的フロべニウスを採用したいと思います。

さて、局所因子は次のように計算できます。

$\displaystyle \begin{align} L_p(\rho, s) &= \frac{1}{\operatorname{det}(1 - q_p^{-s} \rho(\operatorname{Frob}_p; V^{I_p} ) )} \\ &= \frac{1}{1- \chi(\overline{p})p^{-s}}\end{align}$

よって

$\displaystyle L(\rho, s) = \prod_p \frac{1}{1- \chi(\overline{p})p^{-s}} = L(\chi, s)$

となり、これはディリクレゼータ関数（あるいはディリクレL関数）です。

長かったですが、ちゃんと「いかにもゼータ」な関数が出てきましたね。

関連する過去記事はこちら：
tsujimotter.hatenablog.com

なお、上では $\mathbb{Q}$ の1次元アルティン表現について考えましたが、代数体 $K$ についての1次元アルティン表現を考えることもできます。この場合は、 $K$ のイデール群に関するヘッケ指標（Grossencharacter）

$\psi \colon A_K^{\times} \longrightarrow \mathbb{C}^\times$

から1次元アルティン表現 $\rho$ を作ることができ、そのゼータ関数 $L(\rho, s)$ はヘッケL関数 $L(\psi, s)$ に一致するそうです。

具体例：楕円曲線のハッセ・ヴェイユゼータ関数

続いて楕円曲線のゼータ関数を考えたいと思います。

$K$ を（代数体とは限らない）体として、 $E/K$ を $K$ 上の楕円曲線とします。正整数 $n$ について $E$ の $n$ 等分点を

$E[n] := \{ P \in E(\overline{K}) \mid nP = O \}$

と定義します。

$K$ の標数を $p$ として、 $p$ と $n$ が互いに素であれば、 $E[n]$ は階数 2 の自由 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 加群になります。

$\ell \neq p$ を素数とし、

$\displaystyle T_{\ell} E := \varprojlim_n E[\ell^{n}]$

$\displaystyle V_{\ell} E := (T_{\ell} E) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell$

とすると、 $T_{\ell} E, \; V_{\ell} E$ はそれぞれ $\mathbb{Z}_{\ell}, \; \mathbb{Q}_{\ell}$ 上の階数2の自由加群であり、 $G_K$ が自然に作用します。 $T_{\ell} E, \; V_{\ell} E$ を $E$ の $\ell$ 進テイト加群といいます。

また、 $V_\ell E$ の双対空間を

$V := \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(V_{\ell}E, \; \mathbb{Q}_{\ell})$

とおくと、 $V$ にも自然に $G_K$ が作用し、 $K$ の2次元 $\ell$ 進表現

$\rho_{E, \ell} \colon G_K \longrightarrow \operatorname{Aut}_E(V)$

が得られます。

あとは、局所因子を決定するために、 $V$ に対するフロベニウスの作用を計算する必要があります。

まず、簡単のために $\rho_v := \rho(\operatorname{Frob}_v; V^{I_v})$ とおきます。これは2次元正方行列です。

固有多項式 $\operatorname{det}(1 - T\rho_v)$ は、ケーリー・ハミルトンの定理により

$\operatorname{det}(1 - T\rho_v) = 1 - \operatorname{Tr}(\rho_v) T + \operatorname{det}(\rho_v)T^2$

と表せます。よって、トレースと行列式が分かればよいでしょう。

答えだけ述べると、次のようになります：

$\begin{align} \operatorname{Tr}(\rho_v) &= 1 + q_v - \# \tilde{E_v}(\kappa(v)) \\ \operatorname{det}(\rho_v) &= q_v \end{align}$

ここで、 $\tilde{E_v}$ は $E$ の $v$ における還元（reduction）です。

正確なステートメントをサボりますが、上記は $v$ が任意の "良い素数" のときに成り立ちます。（結果が $\ell$ によらないという点に注意！）

以上の結果を元に、 $K = \mathbb{Q}$ とし、 $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線 $E$ について、 $\rho_{E, \ell}$ のゼータ関数は次のようになります。

$\displaystyle L(\rho_{E, \ell}, s) = \prod_{p\colon \text{good}} \frac{1}{1- (1+p-\# \tilde{E_p}(\mathbb{F}_p) )p^{-s} + p^{1-2s}} \times \prod_{p\colon \text{bad}} \left( \;\;\;\;\;\;\;\; \right)$

これは、 $p$ が（適切な意味で）"良い素数" のときには、楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ のハッセ・ヴェイユゼータ関数（あるいはハッセ・ヴェイユL関数）そのものですね。

やりましたね！

関連する過去記事はこちら：
tsujimotter.hatenablog.com

楕円曲線は2次のゼータ関数だということは以前から知っていましたが、その１次の係数 $1+p-\# \tilde{E_p}(\mathbb{F}_p)$ については、どうしてこんな定義をするのだろうと疑問に思っていました。この謎の係数は、実はフロベニウスの行き先のトレースの値を表していたのですね。納得です。

具体例：保型形式のゼータ関数

最後に、保型形式について考えましょう！　保型形式からもガロア表現、そしてゼータ関数は作れるのです。

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n q^n \;\;\;\; (q = e^{2\pi i z})$

が $\Gamma_0(N)$ の保型形式であるとは、指標 $\varepsilon$ と重さ $k$ が存在して、任意の $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N), \; z \in H$ （ $H$ は上半平面）に対して

$\displaystyle f\left(\frac{az + b}{cz + d}\right) = \varepsilon(d)(cz + d)^k f(z)$

が成り立つことを言います。このとき、 $f$ はレベル $N$ 、重さ $k$ 、指標 $\varepsilon$ の保型形式といい、特に、 $a_0 = 0$ のときカスプ形式といいます。また、カスプ形式の $a_1$ が $1$ であるとき正規化されたカスプ形式といいます。

特に、 $f$ が①正規化されたカスプ形式で、②Hecke作用その同時固有形式になっていて、③レベル $N$ の新形式であると仮定します。

$f$ の重さを $k$ 、指標を $\varepsilon$ とおきます。 $\ell$ を素数として、体の同型 $\overline{\mathbb{Q}_\ell} \simeq \mathbb{C}$ を固定します。

このとき、 $\mathbb{Q}$ の「奇」で絶対既約な2次元 $\ell$ 進表現

$\rho_{f, \ell} \colon G_{\mathbb{Q}} \longrightarrow \operatorname{Aut}_E(V)$

が存在し、以下の $(***)$ が成り立つことが知られています。（ここで $V$ は $\ell$ 進体 $E$ 上の2次元ベクトル空間）

$(***)\;\;$ $p$ を $N$ と互いに素な素数とします。 $p \neq \ell$ ならば $\rho_{f, \ell}$ は $p$ で不分岐であり

$\begin{align} \operatorname{Tr}(\rho_{f, \ell}(\operatorname{Frob}_p) ) &= a_p \\ \operatorname{det}(\rho_{f, \ell}(\operatorname{Frob}_p) ) &= \varepsilon(p) p^{k-1} \end{align}$

が成り立つ。

特にこれにより、 $\rho_{f, \ell}$ のゼータ関数は

$\displaystyle L(\rho_{f, \ell}, s) = \prod_{p\not\mid N} \frac{1}{1- a_p p^{-s} + \varepsilon(p) p^{k-1-2s}} \times \prod_{p\mid N} \left( \;\;\;\;\;\;\;\; \right)$

となります。

ところで、有名な保型形式の例としてラマヌジャンのデルタ $f = \Delta$ がありました。

これは $\Gamma_0(1)$ の保型形式で、重さ $k = 12$ 、指標 $\varepsilon = {\bf 1}$ の新形式であり、種々の条件を満たします。

よって、 $\Delta(z) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n q^n$ とすると

$\displaystyle L(\rho_{f, \ell}, s) = \prod_p \frac{1}{1- a_p p^{-s} + p^{11-2s}}$

となりますが、これはまさにラマヌジャンの2次のゼータ $L(\Delta, s)$ となります！

関連する過去記事はこちら：
tsujimotter.hatenablog.com

まとめ

今回はガロア表現のゼータ関数を定義して、ガロア表現を計算することで、さまざまな種類のゼータ関数が構成できるということを示しました。

リーマンゼータ関数、ディリクレゼータ関数、ハッセ・ヴェイユゼータ関数、保型形式のゼータ関数など、これまでtsujimotterのノートブックで扱ってきた、さまざまなゼータ関数が「これでもか」という感じで登場しました。それらをすべて「ガロア表現」という同じ土台の上でまとめることができたのがよかったですね。まさに「ゼータの統一」という感じがします。

また、今回の議論のおかげで、楕円曲線のゼータ関数や保型形式のゼータ関数がなぜあのように定義されるのかの理屈がわかり、興味深いなと感じました。

最後までお付き合いいただきありがとうございました。
それでは、今日はこの辺で。