(987654321-1)/(123456789+1) がちょうど 8 - tsujimotterのノートブック

最近、タイムラインで

$\displaystyle \frac{987654321}{123456789} \fallingdotseq 8$

という話をよくみかけます。とても面白い現象ですね。

この問題については、id:egory_cat さんのブログにて、一般の $n$ 進法に対して証明が与えられています。
egory-cat.hatenablog.com

ブログを拝見させていただきましたが、とても面白かったです！

要するに、分子の数 $987654321$ は

$\displaystyle f(n) = \sum_{k=1}^{n-1} k n^{k-1}$

に対して $n = 10$ を代入した数であり、分母の数 $123456789$

$\displaystyle g(n) = \sum_{k=1}^{n-1} (n-k) n^{k-1}$

に対して $n = 10$ を代入した数であり、これらの比

$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$

の小数部分が十分小さな値となることを示せるわけですね。

一方で、Twitter上でこんなツイートも見かけました：

(987654321-1)/(123456789+1) = 8 pic.twitter.com/KWrcpmyF11
— Poo-Sung Park (@puzzlist) 2021年3月30日

なるほど、上の記号を用いて

$\displaystyle \frac{f(10)-1}{g(10)+1} = 8$

が成り立つと言うわけですね。これは面白い。

この関係から、一般の $n$ 進法において

$\displaystyle \frac{f(n)-1}{g(n)+1} = n-2$

が成り立つことを示唆されますが、これは成り立つのでしょうか。

その答えはイエスです！

一般の $n$ で成り立ちますので、実際に証明してみましょう！

id:egory_cat さんの記事より

$\displaystyle f(n) = \frac{(n-2)n^n + 1}{(1-n)^2}$

$\displaystyle g(n) = \frac{n^n - (n^2 - n + 1)}{(1-n)^2}$

が成り立ちますので、これを使って変形しましょう。

$\displaystyle \begin{align} f(n) - 1 &= \frac{(n-2)n^n + 1}{(1-n)^2} - 1\\ &= \frac{(n-2)n^n + 1 - 1 + 2n - n^2}{(1-n)^2} \\ &= \frac{(n-2)n^n + 2n - n^2}{(1-n)^2} \\ &= \frac{n(n^n - n) + 2(n^n - n)}{(1-n)^2} \\ &= \frac{(n^n - n)(n-2)}{(1-n)^2} \end{align}$

$\displaystyle \begin{align} g(n) + 1 &= \frac{n^n - (n^2 - n + 1)}{(1-n)^2} + 1\\ &= \frac{n^n - (n^2 - n + 1) + 1 - 2n + n^2}{(1-n)^2} \\ &= \frac{n^n - n}{(1-n)^2} \end{align}$

したがって

$\displaystyle \frac{f(n) - 1}{g(n) + 1} = \frac{(n^n - n)(n-2)}{(1-n)^2} \cdot \frac{(1-n)^2}{n^n - n} = n-2$

となり、綺麗に $n-2$ だけが残りましたね！

元の問題に立ち返ってみると、この式の分母を「ちょっと小さく」して、分子の方を「ちょっと」大きくすると、 $n-2$ より少しだけ大きな値になるというわけなんですね。

いやー、数学ってうまいことできていますね！！

これで証明は完了しましたが、少し疑問が残りました。この結果って、定義に戻って考えると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k n^{k-1} - 1 = (n-2) \left(\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) n^{k-1} + 1\right)$

ということを表しているわけですよね。これって級数のままで証明できたりしないでしょうか。

もし思いついた方がおられましたら、コメントで教えていただけるとうれしいです。

それでは今日はこのへんで！
（とても楽しい記事を公開してくださった id:egory_cat さんに感謝です！）

追記

最後の

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k n^{k-1} - 1 = (n-2) \left(\sum_{k=1}^{n-1} (n-k) n^{k-1} + 1\right)$

という式ですが、直接証明する方法をOTTYさんから教えていただきました。許可をいただきましたので、転載させていただきます。

$f(n), g(n)$ に加えて、 $h(n)$ を次のように定義します。

$\displaystyle h(n) = \sum_{k=1}^{n-2} (n-k-1)n^{k-1}$

これは $n = 10$ と代入すれば、 $h(10) = 12345678$ となります。つまり、 $g(n)$ の最後の桁だけ抜いた数というわけですね。

ここで、次のような関係が成り立ちます：

$\displaystyle f(n) + h(n) = (n-1) \sum_{k=1}^{n-1} n^{k-1} \tag{1}$

$\displaystyle g(n) - h(n) = \sum_{k=1}^{n-1} n^{k-1} \tag{2}$

$\displaystyle g(n) - n h(n) = n-1 \tag{3}$

$(1), (2), (3)$ はそれぞれ

$\displaystyle 987654321 + 12345678 = 999999999 \tag{1'}$

$\displaystyle 123456789 - 12345678 = 111111111 \tag{2'}$

$\displaystyle 123456789 - 123456780 = 9 \tag{3'}$

と対応しています。

これらを使うと、次のように目的の式が得られます：

$\displaystyle \begin{align} f(n) - 1 &= (n-1)\sum_{k=1}^{n-1} n^{k-1} - h(n) - 1 \\ &= (n-1) (g(n) - h(n)) - h(n) - 1 \\ &= (n-1) g(n) - n h(n) - 1 \\ &= (n-2) g(n) + g(n) - n h(n) - 1 \\ &= (n-2) g(n) + (n-1) - 1 \\ &= (n-2) (g(n) + 1) \end{align}$

面白いですね！！

OTTYさんありがとうございます！