「ディオファントスの一生」って知っていますか？
ディオファントスという古代の数学者の墓石に、彼の一生を示した「謎めいた文章」が書かれている、という話なのですが、これがよく読むと数学の問題になっているのです。
NHK Eテレの2355という番組で、これをもとにした曲が流れていたりしましたから、ご覧になった方もいるかと思います。墓石に書かれた文章も、以下の Eテレ のサイトに書いてあります。
この問題の解法は比較的簡単で、年齢を とおいて、方程式を立てればいいわけです。これについては、上のサイトにわかりやすく解説がありますので、ここでわざわざ説明するのはやめておきましょう。
ディオファントスの一生 ジェネレータ
ディオファントスの一生の考え方は、いろいろ応用することができると思います。たとえば、自分の半生を文章と分数で語って、年齢当てクイズができるんです。
ツジファントスの半生
生まれて 1 年は札幌で暮らし・・・
のような感じです。
そんな需要を考えて、tsujimotter は以下のようなジェネレータ・アプリを作ってみたのですよ。
ぜひ、ディオファントスになりきったつもりで、ご自身の半生を埋めてみてください。
問題発生？
ただ、このジェネレータ、１つ大きな問題があります。プログラムのバグとか、そういう問題もあるかもしれませんが、もっと本質的な問題です。
実は、入力者の年齢が素数だと 何にも面白くない のです！
素数は 1 と自分自身以外のいかなる数でも割り切れないので、それぞれの分数が約分できません。だから、分母見れば答えがわかっちゃうんです。
残念なことに、tsujimotter の今の年齢は素数 です。
今年はまだ誕生日は来ていないのですが、誕生日が来れば合成数になります。しかも、2, 3, 5 と、約数のバリエーションが豊富な数になっています。こんなにバリエーションのある数は、この歳以下の数にはないでしょう。
これで年齢がばれたかな？笑
さて、ここで問題です。tsujimotter の年齢は、いったいいくつでしょうか？
結局この問題は、正の整数を としたとき、
となるような、素数 を求めよ、という問題に帰着できますね。
これは具体的に数を入れていけば手っ取り早くて、小さいほうから候補を挙げていくと、
となります。常識的に考えて が答えでしょう。
というような話を twitter でしていたら、フォロワーさんからこんな反応がありました。
「つじもったーさん現在59歳説が浮上しました。」
「つじもったーさん89歳ですか。思ってたよりお年を召しておられますね...」
・・・なんといいますか、みなさん本当にひねくれていますね。面白い反応をありがとうございました。笑
どこまで続く？
ところで、ここで１つ気になるのは、この年齢の候補リストは果たして有限なのか？、という問題です。
いつまでたっても続いていくかもしれませんし、十分大きな数までいったところで、この式を満たすような素数は現れなくなるかもしれません。
実はこの問題、既に解決されている「とある有名な定理」の特殊な系として示すことができます。
やってみましょう。
上の式を変形すると
になるので、
とおくと、 になります。
は互いに素なので、ディリクレの算術級数定理 により、この形の素数
は無限に存在します。したがって、候補は無限に存在するのです。
ディリクレの算術級数定理：
を正の整数とし，
を互いに素な正の整数とするとき，
の形をした素数は無限に存在する．
もちろん人間の年齢を考えれば、「149 歳以上」はないだろう、と常識的に判断できますが、まぁ一つの数遊びということでｗ
もう少しだけ数遊び
ちなみに、正解である は
や
「3つの 4 乗数の和が
そのすべての 4 乗数が
というような面白い性質を持っている数です。
私の誕生日の 5/9 を順に並べて出来た数 は、100 以下にたった 3 つしかない「正則素数」という特徴を持っています。正則素数は「フェルマーの最終定理」を解く過程で、エルンスト・クンマーによって導入された数でした。
今回は「ディオファントスの一生」からはじまって、最終的に整数の数遊びになってしまいましたが、数遊びってやっぱり楽しいですね！
ぜひみなさんもやってみてください。思わぬ発見があるかもしれませんよ！
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