独習ノート「素数と２次体の整数論」＃３．５：単項イデアルの性質

《独習ノート：「素数と２次体の整数論」シリーズ》の補足回です。今回のテーマは「単項イデアルの性質」について。該当箇所は、第１章の 問題 1.12 です。

本当は飛ばそうかと思ったのですが、あとのことも考えると書いておいた方が良さそうだと、思い直しました。本編に加えるほどの内容でもないので、補足として。

教科書を１つ決めて、それに沿って tsujimotter が勉強した過程をまとめていく連載シリーズです。
本シリーズの教科書はこちら。

素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

作者: 青木昇,飯高茂,中村滋,岡部恒治,桑田孝泰
出版社/メーカー: 共立出版
発売日: 2012/12/21
メディア: 単行本
購入: 2人クリック: 2回
この商品を含むブログを見る

初回（＃０）：動機・諸注意
前回（＃３）：Z のイデアル (2/2)
次回（＃４）：

シリーズ全記事の一覧はこちら

この記事では以下の問題を解きたいと思います。

問題 1.12
整数 $a, b$ に対して，次が成り立つことを示せ．
　(1) $a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z} \Longleftrightarrow b\mid a$ ．
　(2) $a\mathbb{Z} = b\mathbb{Z} \Longleftrightarrow a = \pm b$ ．
　(3) $a\mathbb{Z} = \mathbb{Z} \Longleftrightarrow a = \pm 1$ ．

証明には、以前書いた補足記事にある、集合の扱い方を用います。
<a href="http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/prime-number-and-quadratic-field-ex1">独習ノート「素数と２次体の整数論」＃１．５：集合の包含関係（補足） - tsujimotterのノートブック</a>

(1) の証明：

（証明）
まず， $a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z} \Longrightarrow b\mid a$ を示す． $a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z}$ より， $a\in b\mathbb{Z}$ ．よって， $a$ は $b$ の倍数である．すなわち， $b \mid a$ ．

逆に， $a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z} \Longleftarrow b\mid a$ を示す． $b\mid a$ より， $a = bc$ となる $c$ が存在する．任意の整数 $k$ に対し， $a\cdot k = b\cdot (ck) \in b\mathbb{Z}$ であるから， $a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z}$ ．

（証明終わり）

(2) の証明：

（証明）
まず， $a\mathbb{Z} = b\mathbb{Z} \Longrightarrow a = \pm b$ を示す．
$a\mathbb{Z} = b\mathbb{Z}$ より， $a\mathbb{Z} \supset b\mathbb{Z}$ かつ $a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z}$ ．(1) より $a\pm b$ かつ $b\pm a$ だから，問題 1.3 より $a = \pm b$ ．

逆に， $a\mathbb{Z} = b\mathbb{Z} \Longleftarrow a = \pm b$ を示す．
$a = eb$ とおく（ $e = \pm 1$ ）と， $a\mathbb{Z}$ の任意の要素 $a\cdot k$ は，
　 $a\cdot k = b\cdot (ek) \in b\mathbb{Z}$ ．よって， $a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z}$ ．
一方， $b\mathbb{Z}$ の任意の要素 $b\cdot l$ は，
　 $b\cdot l = a\cdot (el) \in a\mathbb{Z}$ ．よって， $a\mathbb{Z} \supset b\mathbb{Z}$ ．
したがって， $a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z}$ かつ $a\mathbb{Z} \supset b\mathbb{Z}$ より， $a\mathbb{Z} = b\mathbb{Z}$ ．

（証明終わり）

ああ、そういえば 問題 1.3 をやり忘れていました。ついでなのでやってしまいましょう。

問題 1.3
$0$ でない整数 $a, b, c$ に対して，次が成り立つことを示せ．
　(1) $a\mid b$ かつ $b\mid a$ $\Longleftrightarrow$ $a = \pm b$ ．

（証明）
$a\mid b$ より， $b = ac$ となる整数 $c$ が存在する．また， $b\mid a$ より， $a = bd$ となる整数 $d$ が存在する．代入すると， $b = bcd$ ．すなわち， $cd = 1$ ．
したがって，これを満たす $c, d$ は， $c = \mp 1, \; d = \pm 1$ ．以上より， $a\mid b$ かつ $b\mid a$ ならば $a = \pm b$ が示せた．

（証明終わり）

(3) の証明：

（証明）
(2) より $b = 1$ を代入して成立．

（証明終わり）

これらの定理はすべて、左側の条件はすべて単項イデアルの条件に、右側の条件はすべて整数の条件になっていますね。

$a$ によって生成される $\mathbb{Z}$ のイデアル $a\mathbb{Z}$ を、整数 $a$ と同様に扱いたい、という意図が見え隠れしていますね。

$a$ で生成される単項イデアルを $(a)$ と書く流儀もあって、それを使って書くとさらにこんな風に「似せる」こともできます。

整数 $a, b$ に対して，次が成り立つ．
　(1) $(a) \subset (b) \Longleftrightarrow b\mid a$
　(2) $(a) = (b) \Longleftrightarrow a = \pm b$
　(3) $(a) = (1) \Longleftrightarrow a = \pm 1$

まだしばらく先になりますが、そのうちイデアルにも足し算・引き算・掛け算が登場することになるでしょう。

簡単ですが、今日はこの辺で。