独習ノート「素数と２次体の整数論」＃３：Z のイデアル (2/2)

今日は「 $\mathbb{Z}$ のイデアルは、常に単項イデアルである」を証明します。その過程で「割り算の原理」という非常に重要な定理が登場します。該当箇所は前回に引き続き「1.3 $\mathbb{Z}$ のイデアル」です。
今回の文章は、ちょっと長いかもしれません。なかなかすんなりとは行かせてくれないようです。

教科書を１つ決めて、それに沿って tsujimotter が勉強した過程をまとめていく連載シリーズです。
本シリーズの教科書はこちら。

素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

作者: 青木昇,飯高茂,中村滋,岡部恒治,桑田孝泰
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初回（＃０）：動機・諸注意
補足回（＃１．５）：集合の包含関係
前回（＃２）：Z のイデアル (1/2)
補足回（＃３．５）：単項イデアルの性質
次回（＃４）：まだ

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今日の目標は、前回ちらっと予告した「 $\mathbb{Z}$ のイデアルは、常に単項イデアルである」を証明することです。これを証明するためには、「割り算原理」という定理が必要です。「なぜ割り算が必要か」はやっていけばわかるでしょう。

割り算原理

定理 1.15（割り算原理）
整数 $a, b \;(a\neq 0)$ に対し，
$b = aq + r, \;\;\; 0 \leq r < |a| \tag{1.2}$
をみたす整数 $q, r$ が存在し，一意に定まる．

簡単に言えば「どんな整数も、 $0$ でない数で割ったら $q$ と $r$ が得られる」ってことです。重要なのは、これらの数が一意に定まるということ。

一意に定まるからこそ $q$ と $r$ には名前があるのです。それが次の 定義 1.16 です。

定義 1.16
定理 1.15 における，整数 $q$ と $r$ をそれぞれ， $b$ を $a$ で割ったときの商 (quotient), 余り (remainder) と呼ぶ．

では、定理 1.15 の証明をしましょう。

（証明）
ここでは $a>0$ の場合を証明する．

存在性の証明：
まず， $b$ 以下の $a$ の倍数の中で最大のものを $aq$ $(q\in \mathbb{Z})$ とする．

$aq \leq b < a(q+1)． \tag{1.3}$

このとき， $r = b - aq \in \mathbb{Z}$ とおけば，(1.3) より

$r = b - aq \geq 0$
かつ，
$r = b - aq < a$

より，

$b = aq + r, \;\;\; 0 \leq r < a$

が成り立つ．
したがって，(1.2) をみたす整数 $q, r$ が存在する．

一意性の証明：
整数 $q, q', r, r'$ を，

$b = aq + r = aq' + r', \;\;\; 0 \leq r < a, \;\; 0 \leq r' < a$

をみたすようにとる．
もし， $q > q'$ ならば， $q - q' \geq 1$ であるから，

$r' - r = a(q - q') \geq a \tag{1.4}$

ところが， $r' - r \leq r' < a$ であるから，これは不可能である．

まったく同様に， $q < q'$ の場合も不可能であるから（ $q$ と $q'$ , $r$ と $r'$ を入れ替えて議論すればいい），結局 $q = q'$ でなければならない．

したがって，(1.4) より $r' - r = 0$ でもある．すなわち，(1.2) をみたす $q, r$ は一意に定まる．

$a < 0$ の場合も同様に示せる．

（証明終わり）

可能な限り、証明は端折らない方針だったのですが、 $a < 0$ の場合はいいですよね・・・？

これで道具が得られました。いよいよ、主題の定理の証明に向かいましょう。

$\mathbb{Z}$ のイデアルは単項イデアルである

それでは、本丸に攻め込みます。表題の定理を、もう少し具体的に記述するとこうなります。

定理 1.13
$\mathbb{Z}$ の任意のイデアル $A$ に対して，ある整数 $m \geq 0$ が存在して， $A = m\mathbb{Z}$ が成り立つ．

$\mathbb{Z}$ のイデアルについての定義も再掲しておきましょう。

定義 1.10（再掲）
以下の (1), (2) の条件をみたす $\mathbb{Z}$ の部分集合 $A$ を $\mathbb{Z}$ のイデアルと呼ぶ．
　(1) $a, b \in A \Longrightarrow a - b \in A$ ．
　(2) $a \in A, z \in \mathbb{Z} \Longrightarrow az \in A$ ．

特に，イデアル $A = a\mathbb{Z}$ を $a$ で生成される単項イデアルと呼ぶ．

それでは行きましょう。定理 1.13 の証明です。

（証明）
$A$ を $\mathbb{Z}$ の任意のイデアルとする．

もし， $A = \{0\}$ であれば， $m = 0$ とすれば成立．
よって以降では， $A\neq \{0\}$ の場合を考える．

$A$ の定義により， $0$ を要素として含むので，それを除いた集合 $A - \{0\}$ を考える．このとき， $A-\{0\}$ に含まれる整数の中で，最小の自然数（正の整数）をとることができる．これを $m$ としよう．

この $m$ に対して， $A = m\mathbb{Z}$ であることを以下に示す．
（ $A$ の定義により， $m\in A$ であれば $(-m)\in A$ となることに注意．）

(i) $A \supset m\mathbb{Z}$ であることを示す．
$m$ はもともと $A$ の要素であるから，定義 1.10 の (2) より，任意の $k\in \mathbb{Z}$ に対して， $mk\in A$ ．したがって， $m\mathbb{Z} \subset A$ である．

(ii) $A \subset m\mathbb{Z}$ であることを示す．
任意の $a\in A$ をとり， $a$ を $m$ で割った商を $q$ ，余りを $r$ とすると，

$a = mq + r, \;\;\; 0 \leq r < m$ ．

このとき，定義 1.10 の (2) を使うと， $m\in A$ だから $mq\in A$ ．
また，定義 1.10 の (1) を使うと， $a, (mq)\in A$ から $r = a - (mq) \in A$ である．

ここでもし， $r > 0$ であれば，

$0 < r < m, \;\;\; r\in A$

となって， $m$ よりも小さくて $0$ でない自然数 $r$ が $A$ の要素として存在することになってしまう．これは， $m$ の取り方に矛盾するから， $r = 0$ でなければならない．

したがって， $a = mq \in m\mathbb{Z}$ である．すなわち， $A\subset m\mathbb{Z}$ ．

以上 (i), (ii) より， $A\supset m\mathbb{Z}$ かつ $A\subset m\mathbb{Z}$ ．よって， $A = m\mathbb{Z}$ であることが示せた．

（証明終わり）

重要なところに下線を引いておきました。

下線部では「割り算原理」、「 $\mathbb{Z}$ のイデアルの定義 (2)」、「 $\mathbb{Z}$ のイデアルの定義 (1)」が、それぞれ使われていることを確認してみてください。やはりキーポイントは「割り算原理」でしたね。

以上のように、抽象的な定義だけを使って、（具体的なイデアルを想定しなくても）証明ができてしまうのです。面白いですね。

ユークリッド整域（ED）と単項イデアル整域（PID）

せっかくここまで説明したので、ちょっと先の内容につながる話をしましょう。

今回キーポイントであった「割り算原理」ですが、成立は自明ではありません。これは証明が必要だったことから分かると思います。

結局、「 $\mathbb{Z}$ においては」割り算原理が成り立つわけですが、このことを「環論」の言葉で「整数 $\mathbb{Z}$ はユークリッド整域（Euclidean Domain）である」と表現します。環論については、まだいっさい触れていないので、流し読みしてもらえればと思いますが、とにかく整数 $\mathbb{Z}$ はユークリッド整域である、特殊な例であると言えます。

一方、今回証明したように、イデアルが単項イデアルと一致するような環のことを「単項イデアル整域（Principal Ideal Domain）」と呼びます。もちろん、整数 $\mathbb{Z}$ は単項イデアル整域です。

ここで、重要なのは次の事実です。