tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

二次形式

続・XX + XY + 6YY の形で表せる素数

これまで「類体論」の勉強をしてきましたが,その集大成となる記事を書きたいと思います。本日扱いたいのは,およそ一年前に紹介した以下の問題です。 の形でかける素数はどのような法則を満たすか?その一年前の記事はこちら: tsujimotter.hatenablog.com

ガウスの種の理論 (Genus Theory)

今日考えたい問題は という二次形式で書ける素数の法則です。実際,という法則が知られており, の素イデアル分解によって説明できます。これについて,以前の記事でまとめたことがありました。 tsujimotter.hatenablog.com一方で,上の記事では「たまたまそ…

xx + 27yy 型の素数 と オイラーの五角数定理

これまでこのブログではという二次形式で表すことのできる素数に想いを巡らせてきました。 のときには,それぞれの二次形式で表すことができる素数の必要十分条件が完全に分かっています。このブログでも数回にわたって解説してきました。 一般に,「多くの…

二次体 Q(√-5) のイデアル類群と xx + 5yy 型の二次形式

関連記事: tsujimotter.hatenablog.com 「イデアル類群は,単項イデアル整域からどれだけ離れているかを測る "ものさし" である」 というような文章は,イデアル類群を簡単に説明するためによく用いられる解説ですが,こんな説明を聞いても「はぁ?何言って…

二次形式の類数を求めるプログラム

今回お話ししたいのは「正定値二次形式の判別式 に対して,類数 を計算する Ruby のプログラムを作った!」という話です。なのですが,この分野を知らない人にとっては上の文章はサッパリですね。「二次形式ってなに?」「判別式ってなに?」「類数って・・…

6xx + xy + yy の形で表せる素数

昨日の記事の続きで「二平方定理」について調べている中で,興味深い定理を発見しました。今日は「どんな形をした素数が, の形に書けるか」についてのお話をご紹介します。

続・二平方定理 (オイラーの 6n+1 定理)

前回の記事: 平方剰余の第一補充則から二平方定理を導く - tsujimotterのノートブック 昨日書いた「フェルマーの二平方定理」の話ですが,定理をもっと一般化できることに気づきました。ワクワクしながらこの記事を書いています。 昨日は「 型の素数は の形…

平方剰余の第一補充則から二平方定理を導く

久しぶりに整数論の調べものをしていたら,思った以上に捗って理解が深まったので,さっそく記事にしてみました。約一年ぶりに「フェルマーの二平方定理」の記事の続きをお話ししたいと思います。 フェルマーの二平方定理 - tsujimotterのノートブック フェ…

3n+1型の素数とか

今日は3月31日ということで、331にまつわる小ネタを。 はじめに 4n+1の形で表せる素数はすべて平方数の和でただ一通りに表せる。 逆に平方数の和で表せる奇素数はすべて4n+1型である。 というのは、この記事で以前お話したことでした。 フェルマーの二平方定…

フェルマーの二平方定理

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, ... これらは、4で割って1余る素数です。このような素数が無数に存在することは、次の記事で書いた通りです。 4n+1型の素数とディリクレの算術級数定理 - tsujimotterのノートブック 初めてこの話を聞いた皆さんは次のような疑問…