tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

1009と二次形式

日曜数学 数学 二次形式

2018の素因数である 1009 について、面白い性質を見つけたので紹介します。

1009と二次形式
p = 1009 は，1 から 10 までの n に対して
p = X^2 + nY^2, \;\;\;\; X, Y は整数

の形で表すことのできる最小の素数である．

これは、見事に 1009 という素数を特徴付ける性質になっていますね！！



ちなみに、二次形式とは aX^2 + bXY + cY^2 という形でかける式のことで、今回はとくに (a, b, c) = (1, 0, n) の形の式で表されるものを考えています。
tsujimotter.hatenablog.com


「こんなものよく見つける人がいるものだな」と思いました。一応、1009 が上記の二次形式で表せるかどうか、自分でも確かめてみましょう。

1009 = 15^2 + 1 \cdot 28^2（成立！）
1009 = 19^2 + 2 \cdot 18^2（成立！）
1009 = 31^2 + 3 \cdot 4^2（成立！）
1009 = 15^2 + 4 \cdot 14^2（成立！）
1009 = 17^2 + 5 \cdot 12^2（成立！）
1009 = 25^2 + 6 \cdot 8^2（成立！）
1009 = 1^2 + 7 \cdot 12^2（成立！）
1009 = 19^2 + 8 \cdot 9^2（成立！）
1009 = 28^2 + 9 \cdot 5^2（成立！）
1009 = 3^2 + 10 \cdot 10^2（成立！）


たしかに、成立していますね！すごいこれ！

しかも、 p = 1009 が素数では最小だということです。すごい。


二次形式のことになると、理論的な背景についても述べたくなります。

n が平方因子を持たないケースについて、特に今回の n \leqq 10 のケースについては、 p = X^2 + nY^2 で表せる素数の法則が得られます。

p = 2 \; \text{or} \; p = 4n+1 \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 + Y^2 \tag{1}
p = 2 \; \text{or} \; p = 8n+1, 8n+3 \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 + 2Y^2 \tag{2}
p = 3 \; \text{or} \; p = 3n+1 \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 + 3Y^2 \tag{3}
p = 5 \; \text{or} \; p = 20n+1, 20n+9 \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 + 5Y^2 \tag{4}
p = 24n+1, 24n+7 \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 + 6Y^2 \tag{5}
p = 7 \; \text{or} \; p = 7n+1, 7n+2, 7n+4 \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 + 7Y^2 \tag{6}
p = 40n+1, 40n+9, 40n+11, 40n+19 \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 + 10Y^2 \tag{7}

特に、 n = 5, 6, 10 のケースは少し難しいですが、種の理論等を用いて理解することができます。
tsujimotter.hatenablog.com


考察が難しいのが、 n が平方因子を持つケースです。たとえば
X^2 + 8Y^2

の場合は

X^2 + 8Y^2 = X^2 + 2(2Y)^2

とかけるので、 p = 8n+1, 8n+3 が必要条件であることがわかります。しかしながら、十分条件ではありません。この辺りの議論をしっかりしようと思うと、二次形式の深い理論に踏み込む必要があります。ここで解説するのは難しいので、参考文献をあげておきます。

Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)

Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)


ちなみに、

X^2 + 4Y^2

の場合は

X^2 + 4Y^2 = X^2 + (2Y)^2 = X^2 + Y'^2

と変形できますが、p が奇数であれば X, Y' のいずれか一方は偶数になりますので、

p = 4n+1 \;\; \Longleftrightarrow \;\; p = X^2 + 4Y^2

とただちにわかります。



さて、上でわかっている法則７つに対してだけでも、 p = 1009 が当てはまるかどうか確認してみましょう。

  • p = 1009 は p = 4 \cdot 252 + 1 とかけるので、式 (1) 左辺の条件に合致します。
  • p = 1009 は p = 8 \cdot 126 + 1 とかけるので、式 (2) 左辺の条件に合致します。
  • p = 1009 は p = 3 \cdot 336 + 1 とかけるので、式 (3) 左辺の条件に合致します。
  • p = 1009 は p = 20 \cdot 50 + 9 とかけるので、式 (4) 左辺の条件に合致します。
  • p = 1009 は p = 24 \cdot 42 + 1 とかけるので、式 (5) 左辺の条件に合致します。
  • p = 1009 は p = 7 \cdot 144 + 1 とかけるので、式 (6) 左辺の条件に合致します。
  • p = 1009 は p = 10 \cdot 100 + 9 とかけるので、式 (7) 左辺の条件に合致します。

たしかに、条件に当てはまりますね！


こうやって考えてみると「多様な二次形式で表せる」という p = 1009 のよい性質は、 p - 1 = 1008 が 2^4 \times 3^2 \times 7 と素因数分解されることに起因していそうですね。


それでは今日はこの辺で。

作りました

いつものように二次形式を表現するページに 1009 を追加しました！