2018と二平方定理 - tsujimotterのノートブック

みなさんあけましておめでとうございます。2018 年もどうぞ宜しくお願いします。

2018 年一発目の記事として、2018 で数遊びをしてみたいと思います。

2018とフェルマーのクリスマス定理

去年は 2017 年で素数、しかも4n+1型素数だったりして、各所で 2017 の数遊びが盛り上がりました。今年は、素数ではなく、しかも合成数なので「あまり面白くないのかなぁ」と思っていたのですが、ふみ川さんという方のツイートを見て考えが変わりました。

2018は2×1009で、1009はフェルマーのクリスマス定理(4で割った余りが1であるような素数は必ず二つの平方数の和で表すことができる)で表すことの出来る素数だやったー！って記事をこないだ書いた
(1009=4×252+1=15^2×28^2)
— ふみ川まうり🍳 (@0923Vb) 2017年12月31日

フェルマーのクリスマス定理とは「 $4n+1$ 型の素数が二つの平方和で表せる」という有名な定理です。
integers.hatenablog.com
tsujimotter.hatenablog.com

先のツイートを見ると

$2018 = 2 \times 1009$

と素因数分解できて、 $1009$ は $4n+1$ 型の素数なので、２つの平方数の和で表せるということですね。素晴らしい！

それでは、tsujimotter にこのツイートに数学的な一工夫を加えることにしましょう。

平方数の和で表される素数は $4n+1$ 型の素数と $2$ だけです。一方で、平方数の和で表されるのは、何も素数だけではないのです。

クリスマス定理ほどメジャーではありませんが、平方数の和で表せる合成数の条件というものも知られています。それは

素因数分解したとき、すべての $4n+3$ 型の素因子の指数が偶数となる

ということです。

どういうことか簡単に説明しましょう。ある合成数 $n$ を素因数分解したときに、 $4n+1$ 型素数 or $2$ に素因数分解されたとしましょう。すると、クリスマス定理よりそれぞれの素因子 $p_1, p_2$ は $p_1 = X^2 + Y^2$ と $p_2 = Z^2 + W^2$ と表せます。つまり、このように表せるということです。

$n = p_1 p_2 = (X^2 + Y^2)(Z^2 + W^2)$

ここで、高校のときに習ったブラーマグプタの恒等式を使います。

$(X^2 + Y^2)(Z^2 + W^2) = (XZ + YW)^2 + (XW - YZ)^2$

tsujimotterはこの恒等式が、恒等式の中で世界で一番好きです。これによって、 $n$ は $(XZ + YW)^2, (XW - YZ)^2$ という二つの平方数の和で表すことができました。

以上の操作は、素因子が $4n+1$ 型素数 or $2$ である限りいくらでも続けられます。また、 $4n+3$ 型の素因子であっても、指数が偶数であれば、 $(0^2 + p^2)$ として同様の方法で二平方和の形で表すことができます。よって、先ほどの条件になるわけです。

さて、 $2018$ の素因子である $2$ も $1009$ もどちらも平方数の和で表せます。どのように表されるかというと

$\begin{align} 2 &= 1^2 + 1^2 \\ 1009 &= 15^2 + 28^2 \end{align}$

となります。ここで、 $1009$ の計算は
tsujimotter.hatenablog.com

のブログのプログラムを使って

p = 1009
   218 * 1009 = 469^2 + 1^2
   5 * 1009 = 71^2 + 2^2
   1 * 1009 = 15^2 + 28^2

と計算してもいいですし、また
tsujimotter.hatenablog.com

の記事の計算方法を使って求めてもいいでしょう。

さて、 $2$ も $1009$ の二平方和に、ブラーマグプタの恒等式を適用すると

$\begin{align} 2018 &= 2 \cdot 1009 \\ &= (1^2 + 1^2)(15^2 + 28^2) \\ &= (1\cdot 15 + 1\cdot 28)^2 + (1\cdot 28 - 1\cdot 15)^2 \\ &= 43^2 + 13^2 \end{align}$