補足：微分形式は2回外微分すると0になる

tsujimotter.hatenablog.com

の記事の補足として、3次元閉多様体上の微分形式 $\omega_0, \omega_1$ に対して $2$ 回外微分を作用させると 0 になること、すなわち

$d(d\omega_0) = 0$

$d(d\omega_1) = 0$

を示したいと思います。記号の使い方は、前の記事に準じます。

綺麗に項が消えていく、気持ちの良い計算でした。

その微分形式、消えるよ
— tsujimotter (@tsujimotter) 2018年5月6日

$d(d\omega_0) = 0$ の証明：

$\omega_0$ は0-形式より $\omega_0 = f(x, y, z)$ とします。

$d\omega_0$ の定義より

$\newcommand{\p}{\partial}\begin{align} d\omega_0 &= \cfrac{\p f}{\p x} dx + \cfrac{\p f}{\p y} dy + \cfrac{\p f}{\p z} dz \\ &:= a dx + b dy + c dz = \omega_1 \end{align}$

とおきます。

これに対してもう一度外微分をとると

$\require{cancel} \begin{align} d\omega_1 &= \left(\cfrac{\p c}{\p y} - \cfrac{\p b}{\p z}\right) dy \wedge dz + \left(\cfrac{\p a}{\p z} - \cfrac{\p c}{\p x}\right) dz \wedge dx + \left(\cfrac{\p b}{\p x} - \cfrac{\p a}{\p y}\right) dx \wedge dy \\ &= \cancel{\left(\cfrac{\p^2 f}{\p y \p z} - \cfrac{\p^2 f}{\p z \p y}\right)} dy \wedge dz + \cancel{\left(\cfrac{\p^2 f}{\p z \p x} - \cfrac{\p^2 f}{\p x \p z}\right)} dz \wedge dx + \cancel{\left(\cfrac{\p^2 f}{\p x \p y} - \cfrac{\p^2 f}{\p y \p x}\right)} dx \wedge dy \\ &= 0 \end{align}$

となり、 $d(d\omega_0) = d\omega_1 = 0$ が示せました。■

$d(d\omega_1) = 0$ の証明：

$\omega_1$ は1-形式より $\omega_1 = f(x, y, z)dx + g(x, y, z)dy + h(x, y, z)dz$ とします。

$d\omega_1$ の定義より

$\begin{align} d\omega_1 &= \left(\cfrac{\p c}{\p y} - \cfrac{\p b}{\p z}\right) dy \wedge dz + \left(\cfrac{\p a}{\p z} - \cfrac{\p c}{\p x}\right) dz \wedge dx + \left(\cfrac{\p b}{\p x} - \cfrac{\p a}{\p y}\right) dx \wedge dy \\ &= a\, dy \wedge dz + b\, dz \wedge dx + c\, dx \wedge dy = \omega_2 \end{align}$

とおきます。

これに対してもう一度外微分をとると

$\begin{align} d\omega_2 &= \left( \cfrac{\p a}{\p x} + \cfrac{\p b}{\p y} + \cfrac{\p c}{\p z} \right)dx \wedge dy \wedge dz \\ &= \left\{ \cfrac{\p}{\p x}\left(\cfrac{\p c}{\p y} - \cfrac{\p b}{\p z}\right) + \cfrac{\p}{\p y}\left(\cfrac{\p a}{\p z} - \cfrac{\p c}{\p x}\right) + \cfrac{\p}{\p z}\left(\cfrac{\p b}{\p x} - \cfrac{\p a}{\p y}\right) \right\} dx \wedge dy \wedge dz \\ &= \left( \cancel{\cfrac{\p^2 h}{\p x \p y}} - \bcancel{\cfrac{\p^2 g}{\p x \p z}} + \xcancel{\cfrac{\p^2 f}{\p y \p z}} - \cancel{\cfrac{\p^2 h}{\p y \p x}} + \bcancel{\cfrac{\p^2 g}{\p z \p x}} - \xcancel{\cfrac{\p^2 f}{\p z \p y}} \right) dx \wedge dy \wedge dz \\ &= 0 \end{align}$