以前、 という素数に関する以下の記事を書いたのを覚えていますか。
tsujimotter.hatenablog.com
この問題について、twitter で以下のような投稿をしたのです。
【29】「x^4+y^4+z^4 は x=y=z=p を除いて p で割り切れない」を満たす素数 p は 5, 29 だけ…らしい!オイラーが証明したらしいけれど、私はその証明を知らない。29才の頃からずっと気になっている命題 #私の大好きな素数たち
— tsujimotter (@tsujimotter) 2016年4月28日
すると、nishimura さんという方からお返事が。
@tsujimotter x^4+y^4+1≡0 (mod p) の解の個数N(p)を考えると
— nishimura (@icqk3) 2016年4月28日
4次曲線の種数は3以下なのでハッセヴェイユ境界によると
p+1-6√p ≦ N(p) ≦ p+1+6√p なので
pがある程度大きいとき N(p)>0 が言えると思います
なんと代数曲線の解の個数に問題を帰着して、解ける可能性があるというのです!!
家に帰ってから、テンションが上がるのを抑えて(抑えきれていないけど)計算してみると、たしかに証明できました!!!
うおおお!!!
というわけで、興奮しながらこの記事を書いています!
証明のヒント(というかほぼ答え)を教えてくださった nishimura さんに感謝です!本当にありがとうございます!
続きを読む