tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

「1/6公式」とベータ関数・超幾何関数

前回のtsujimotterのノートブックでは ベータ関数 が登場しましたが、ベータ関数にはもう少し親しみやすい導入があります。それが高校数学でいわゆる 1/6公式 と呼ばれる積分の公式です。

このブログでも何度か登場した 超幾何関数 も関係します!お楽しみに!

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なお、今回の記事の内容は、すどさんと黒木玄さんの一連のツイートに影響を受けて書いたものです。ツイートのリンクは記事の最後にまとめて紹介しております。

本記事の内容は、お二方の元ツイートだけを読んでも十分理解できるものとなっております。しかしながら、自分で計算してみて面白くなり、やはり自分の言葉でもまとめてみたいと思うようになりました*1。とても楽しい話題を提供してくださったすどさん、黒木玄さんに感謝しつつ、執筆させていただきます。

tsujimotterのノートブックで「ベータ関数」の話題が登場したばかりですので、タイミング的にもちょうどよいかと思っています。ぜひ最後まで読んでいただければと思います。


「1/6公式」とは?

直線  y = f(x) と2次関数  y = g(x) = ax^2 + bx + c によって囲まれる面積  S について考えてみましょう。

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図のように  y = f(x) y = g(x) は2点で交わるとし、交点それぞれの  x 座標を  \alpha, \beta とします( \alpha < \beta と仮定します)。

このとき、面積  S

 \displaystyle S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3

と表せるというのが、いわゆる 「1/6公式」 です。

この公式を初めて教えてもらったときは、面積の式に「交点の  x 座標   \alpha, \beta」と「2次関数の係数  a」しか現れないことに驚きました。その他の情報をまったく必要としないのですね。ちょっと不思議な感じがします。


「1/6公式」の背景には次のような理屈があります。

まず、面積  S を「符号も含めて」考えることにすると、 y = f(x) x 軸で囲まれた図形

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の面積から、 y = g(x) x 軸で囲まれた図形

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の面積を引いたものとして表せます。

上の図では、2次関数  g(x) の2次の係数  a a > 0 の場合についての図を描いています。

もし  a < 0 ならば、 x = \alpha から  x = \beta の範囲で、2次関数は直線の上にきます。この場合は面積  S が「負」になるように符号を設定しています。

つまり

 \displaystyle S = \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx - \int_{\alpha}^{\beta} g(x) dx

ということですね。積分の差は、被積分関数同士の差をとって積分したものと一致しますので

 \displaystyle S = \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ f(x) - g(x) \right\} dx

となります。

 (1次関数) - (2次関数) = (2次関数) なので、 f(x) - g(x) は2次関数となります。


一般の2次関数を決定するためには、「2次の係数」と「2つの根」を決定すれば十分です。 f(x) - g(x) の2次の係数は  -a ですね。また、2つの根は  x = \alpha, \beta です。したがって

 f(x) - g(x) = -a(x - \alpha)(x - \beta)

となります。

これを  x = \alpha から  x = \beta の範囲で積分すれば、面積  S が得られますね。すなわち

 \displaystyle S = -\int_{\alpha}^{\beta}(x - \alpha)(x - \beta) dx

ということです。


あとは右辺の積分を計算すればよいというわけですね。


あとでもっとスマートな方法を紹介しますが、愚直に考えても公式は得られます。つまり被積分関数を

 -(x - \alpha)(x - \beta) = -a(x^2 -(\alpha + \beta)x + \alpha\beta)

のように展開し、それらを項別に積分します。

 \displaystyle \begin{align} S &= -a\left( \int_{\alpha}^{\beta}x^2 dx - (\alpha + \beta)\int_{\alpha}^{\beta}x dx - \alpha \beta\int_{\alpha}^{\beta} dx\right) \\
 &= -a\left(\frac{\beta^3 - \alpha^3}{3} -  (\alpha + \beta)\frac{\beta^2 - \alpha^2}{2} + \alpha\beta (\beta - \alpha) \right) \\
 &= -a\frac{2\beta^3 - 2\alpha^3 - 3\alpha \beta^2 + 3\alpha^3 - 3\beta^3 + 3\beta \alpha^2 + 6\alpha \beta^2 - 6\alpha^2 \beta}{6} \\
 &= \frac{a}{6}(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta \alpha^2 - \alpha^3) \\
 &= \frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3 \\
\end{align}

以上の計算により、面積  S

 \displaystyle S = -a\int_{\alpha}^{\beta}a(x - \alpha)(x - \beta) dx =  \frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3

と表せることが示されました。なお、係数  a に絶対値をつければ、面積の符号を常に正にとることができます。


しかしながら、積分計算が難解すぎて間違いそうですし、できることならやりたくないですよね。「一度くらいやってみようか」程度であればよいかもしれませんが。

もう少しスマートに式変形することを考えましょう。

置換積分によってスマートに

変数を置き換えることで積分を簡単化することを目指します。

今、 x = \alpha から  x = \beta の範囲で積分しています。ここで、積分範囲が  0 から  1 になるように、変数  x を「圧縮」した新しい変数  t を用意することにしましょう。こんなイメージです:

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このような変数変換は、いくらか試行錯誤してみることで得られます。積分範囲の開始点を  x = \alpha から  t = 0 にずらしたいので、 x - \alpha t とします。すると、図のようになりますね:

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ここからさらに  \beta - \alpha で割ると
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となり、変数の範囲が  t = 0 から  t = 1 までとなりました。

以上の議論により、新しい変数  t

 \displaystyle t = \frac{x - \alpha}{\beta - \alpha}

とすればよいことが分かりました。


逆に、 x t を用いて表すことができます:

 x = (\beta - \alpha)\,t + \alpha

これを使うと、次の変換則が得られます:
 \displaystyle \;\; \bullet \;\; x - \alpha = (\beta - \alpha)  t

 \displaystyle \; \begin{align} \bullet \;\; \beta - x  &= \beta - \left\{ (\beta - \alpha)t + \alpha \right\} \\ &= (\beta - \alpha) -  (\beta - \alpha)t \\ &= (\beta - \alpha)\,(1 - t) \end{align}

 \displaystyle \;\; \bullet \;\; \frac{dx}{dt} = \beta - \alpha


これらの変換則を用いて置換積分を実行すると、次のようになります:

 \displaystyle \begin{align} S &= a\int_{\alpha}^{\beta}(x - \alpha)(\beta - x) dx \\
 &= a\int_0^1 (\beta - \alpha)t \cdot (\beta - \alpha)(1-t) \cdot (\beta - \alpha)dt \\
 &= a(\beta - \alpha)^3 \int_0^1 t (1-t) dt \end{align}

3つの変換則によって、それぞれ  (\beta - \alpha) が1つずつ出てくるので、 (\beta - \alpha)^3 が現れるわけですね。


あとは、 t に関する積分

 \displaystyle \int_0^1 t (1-t) dt

を計算できればよいわけですが、単に展開して項別積分することで計算できます:

 \displaystyle \int_0^1 t (1-t) dt = \int_0^1 t dt - \int_0^1 t^2 dt = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

前節と比べて、ずいぶん簡単な計算になりましたね!


ベータ関数・ガンマ関数に帰着させる

最後に計算した積分  \int_{0}^{1} t(1-t)dtについて、もう一つの見方を提示しましょう。

もう察しがついている人はいるかと思いますが、上記の積分は ベータ関数 の特殊値になっています。ベータ関数の定義は、次のものでした:

定義(ベータ関数)
実数  p > 0, \; q > 0 に対して、広義積分
 \displaystyle \operatorname{B}(p, q) := \int_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt

は収束する。 \operatorname{B}(p, q)ベータ関数という。

ここで  p = 2, \; q = 2 とした  \operatorname{B}(2, 2) が上記の積分というわけですね。


つまり、面積  S

 \displaystyle S = a\int_{\alpha}^{\beta}(x - \alpha)(\beta - x)dx = a\operatorname{B}(2, 2)\;(\beta - \alpha)^3

として、ベータ関数の特殊値によって表せるということですね! 面白いです!


このベータ関数の特殊値が  \operatorname{B}(2, 2) = 1/6 になることについては、ガンマ関数 を使うことで、より深く理解できます。ガンマ関数  \Gamma(x) は、次のように定義される関数です。

定義(ガンマ関数)
実数  x > 0 に対して、次の広義積分
 \displaystyle \Gamma(x) := \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt

は収束する。 \Gamma(x)ガンマ関数という。


ガンマ関数の積分に対して、部分積分を適用することで

 \Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)

が得られます。加えて  \Gamma(1) = 1 であることから、ガンマ関数は階乗関数の一般化だと思うことができます。

実際、1以上の整数  n に対して

 \Gamma(n) = (n-1)!

が成り立ちます。


ガンマ関数とベータ関数の間には、以下のような有名な公式があります:

定理(ベータ関数とガンマ関数の関係)
任意の実数  p > 0, \; q  > 0 に対して、次が成り立つ:
 \displaystyle \operatorname{B}(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}

この定理が最後のキーとなります。

ガンマ関数やベータ関数の基本性質やその証明については、たとえば杉浦光夫「解析入門Ⅰ」の第Ⅳ章 §12「Γ函数とβ函数」をご覧になると良いかと思います。
解析入門 Ⅰ(基礎数学2)

解析入門 Ⅰ(基礎数学2)


この定理とガンマ関数が階乗関数である事実を使うと

 \displaystyle \begin{align} \operatorname{B}(2, 2) &= \frac{\Gamma(2)\Gamma(2)}{\Gamma(2+2)} \\
&= \frac{1!\cdot 1!}{3!} \\
&= \frac{1}{6} \end{align}

という感じに、 \operatorname{B}(2, 2) = 1/6 が得られます。


つまり「1/6公式」の分母の「6」は

 \Gamma(2+2) = \Gamma(4) = 3! = 6

から来ていたことが分かりました! 面白いですね!!


このようにして考えると、積分の公式をもっと一般化できそうだということに気づきます。

実際、一般の  p, q に対して、全く同様の式変形によって次の式が得られます:

定理
実数  p > 0, q > 0 に対して、次が成り立つ:
 \displaystyle \begin{align} \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^{p-1}(\beta - x)^{q-1} dx &= \operatorname{B}(p, q) \;(\beta - \alpha)^{p+q-1}  \\
&= \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\;(\beta - \alpha)^{p+q-1} \end{align}

特に  p, q が1以上の整数であるとき、上記の積分は次のように表せる:

 \displaystyle \frac{(p-1)! (q-1)! }{(p+q-1)!}\; (\beta - \alpha)^{p+q-1}

なお、ガンマ関数を持ち出さずとも、部分積分と帰納法を使ってベータ関数の積分を具体的に計算することができるようです。詳しくはこちらをご覧ください:
mathtrain.jp

 

さらなる高みへ:超幾何関数との関係

前節までは、実軸上の2点  x = \alpha, \beta \alpha < \beta)において、それぞれ重複度  p-1, q-1 の零点を持つような  p+q-2 次多項式の積分を考えてきました。明示的には説明していませんでしたが、そのような積分を計算してきたと言えます。

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これを実軸上の3点  x = \alpha, \beta, \gamma \alpha < \beta < \gamma)に拡張した問題を考えてみましょう。

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すなわち、この節を通して考えたい積分の問題はこちらです。

問題
 p, q, r を1以上の整数とし、実数  \alpha, \beta, \gamma \alpha < \beta < \gamma を満たすようとるとき、次の積分を求めよ:
 \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{p-1}(\beta - x)^{q-1}(\gamma -  x)^{r-1} dx


この積分が 超幾何関数の積分表示 を使って表せることを示しましょう。(「超幾何関数の積分表示」については、議論の中で触れたいと思います。)


問題の積分に対して、前節までと同じように

 \displaystyle t  = \frac{x - \alpha}{\beta - \alpha}

という変数変換を行います。 x = \alpha から  x = \beta までの積分範囲は、 t = 0 から  t = 1 までに変わります。

また、

  •  x - \alpha = (\beta - \alpha)t
  •  \beta - x = (\beta - \alpha)(1-t)
  •  \displaystyle \frac{dx}{dt} = \beta - \alpha

という変換則は前節とまったく同じです。

次に、 \gamma - x についてですが、

 \displaystyle \begin{align} \gamma - x &= \gamma - \left( t(\beta - \alpha) + \alpha \right) \\
&= (\gamma - \alpha) - t(\beta - \alpha)  \\
&= (\gamma - \alpha)\left(1 - t\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right)   \end{align}

とすることができます。先の変換則とは異なり、 \gamma - \alpha が飛び出てくるのがポイントです。


これらの変換則を用いて、問題の積分を次のように変形できます:

 \displaystyle \begin{align} &\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{p-1}(\beta - x)^{q-1}(\gamma -  x)^{r-1} dx \\
&= \int_{0}^{1} (\beta - \alpha)^{p-1} t^{p-1}\cdot (\beta - \alpha)^{q-1}(1-t)^{q-1}\cdot (\gamma - \alpha)^{r-1}\left(1 -  t\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right)^{r-1} \cdot (\beta - \alpha)dt \\
&= (\beta - \alpha)^{p+q-1}(\gamma - \alpha)^{r-1} \int_{0}^{1}  t^{p-1} (1-t)^{q-1} \left(1 -  t\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right)^{r-1} dt
\end{align}


さて、最後の積分を考えるために、「超幾何級数の積分表示」を思い出しましょう:

定理(超幾何関数の積分表示)
実数  a, b, c, z *2 が次の2条件を満たすとする:

  •  a > 0 かつ  c - a > 0
  •  |z| < 1 または  -b が非負整数( -b = 0, 1, 2, 3, \ldots

このような  a, b, c, z に対して、(ガウスの)超幾何関数を  F(a, b, c; z) とするとき

 \displaystyle F(a, b, c; z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1} t^{a-1}(1-t)^{c-a-1} (1-tz)^{-b} dt

が成り立つ。

超幾何関数の積分表示については、以前書いたこちらの記事でまとまっています:
tsujimotter.hatenablog.com

定理(ベータ関数とガンマ関数の関係)より

 \displaystyle \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)} = \operatorname{B}(a, c-a)^{-1}

なので、逆に超幾何積分がベータ関数と  F(a, b, c; z) を用いて

 \displaystyle \int_{0}^{1} t^{a-1}(1-t)^{c-a-1} (1-tz)^{-b} dt = B(a, c-a) \, F(a, b, c; z)

と表せると思ってもいいですね。


ここで問題の積分は、 a = p, \;  b = -(r-1), \; c = p+q, \; z = \frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} とすることで超幾何関数の積分表示に一致します。よって、次のように計算できます:

 \displaystyle \begin{align} &\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{p-1}(\beta - x)^{q-1}(\gamma -  x)^{r-1} dx \\
&= (\beta - \alpha)^{p+q-1} (\gamma - \alpha)^{r-1} \int_{0}^{1}  t^{p-1} (1-t)^{q-1} \left(1 -  t\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right)^{r-1} dt \\
&= (\beta - \alpha)^{p+q-1} (\gamma - \alpha)^{r-1} \, \operatorname{B}(p, q) \, F\left(p, -(r-1), p+q; \frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right)
\end{align}

ただし、超幾何関数の積分表示の条件を考慮して

  •  p > 0 かつ  (p+q) - p > 0
  •  \left|\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right| < 1 または  r-1 が非負整数

を満たす必要があります。

前者の条件は  p, q を 1 以上の整数としているので、そのままで成立します。後者の条件も  r を 1 以上の整数としているので、そのまま成立します。もちろん、 |\beta - \alpha| < |\gamma - \alpha| を満たしていれば、 r は任意にとっても問題ありません。


というわけでこの節の問題に対する解答をまとめると、こうなります:

定理
 p, q, r を1以上の整数とし、実数  \alpha, \beta, \gamma \alpha <  \beta < \gamma のようにとる。このとき
 \displaystyle  \begin{align} &\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{p-1}(\beta - x)^{q-1}(\gamma -  x)^{r-1} dx \\
&= (\beta - \alpha)^{p+q-1} (\gamma - \alpha)^{r-1} \; \operatorname{B}(p, q) \, F\left(p, \; -(r-1), \; p+q; \; \frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right) \end{align}

が成り立つ。


これまでベータ関数や超幾何関数を遠い存在だと思っていた人もいるかと思います。しかしながら「1/6公式」という高校数学的な問題から自然な一般化を考えると、なんとベータ関数や超幾何関数が現れるというのです! 面白いですね!

今回の話を通して、ベータ関数や超幾何関数が身近に感じられてきたのではないでしょうか?


それでは今日はこの辺で!


参考にさせていただいたツイートたち

冒頭で述べた通り、今回の内容はすどさんと黒木玄さんの以下のツイート(およびその関連ツイート)に影響されて書いたものです。とても楽しい話をTwitterで共有してくださり、ありがとうございます。あらためて感謝申し上げます。

すどさんのツイート:

黒木玄さんのツイート:


また、清史弘さんがタイミングのよいツイートをなさっていましたので紹介させていただきます。

*1:tsujimotterのノートブックへの記事投稿は、数学的トピックを自分の言葉でまとめ、アウトプットすることを通して「自身の数学的理解を深めること」を目的として行っております。そのため「他の方が既にどこかに公開しているかどうか」とは無関係に、tsujimotterが面白いと思ったこと書き連ねることにしております。 なお、参考にさせていただいた情報については、本であってもブログであっても、ブログ記事内で出典を明示することにしています。

*2:一般に超幾何関数は「複素関数」として定義されますが、今回は簡単のため「実関数」として定義しています。