補足：二次方程式の解の公式（高校流の解き方）

前回：二次方程式の解の公式の別の見方 - tsujimotterのノートブック

前回の記事で、二次方程式の解の公式についての「高校で習わない解法」について書きました。

分量の関係で「高校で習う方法」については割愛したのですが、気になった方もいるかと思います。こちらで簡単にまとめます。あちらの記事はしつこいぐらいしっかりと書きましたが、こちらは淡々と手順を進めていきたいと思います。

高校流の解き方

以下の一般の二次方程式

$\displaystyle ax^2+bx+c=0$

から出発します。この式を満たす $x$ が存在すると仮定して、式変形によって $x$ を係数 $a, b, c$ で表す式を導出します。

両辺を $a$ で割ります。

$\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

両辺に $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ を加えて、平方完成します。

$\displaystyle \begin{eqnarray} x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a} &=& \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \\ \therefore \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a} &=& \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \end{eqnarray}$

両辺に $-\frac{c}{a}$ を加えて整理します。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &=& \left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} \\ &=& \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{eqnarray}$

両辺の平方根をとります。

$\displaystyle \begin{eqnarray} x+\frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray}$

両辺に $-\frac{b}{2a}$ を加えて整理します。

$\displaystyle \begin{eqnarray} x+\frac{b}{2a} &=& \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \therefore x &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray}$