二次方程式の解の公式の別の見方 - tsujimotterのノートブック

この記事は明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダーの 9 日目の記事です。（ 8 日目：例のレナ）

アドベントカレンダーも１週間がたちました。
今日はみなさんが高校で習った（はずの）「二次方程式の解の公式」について、高校のときには教えてくれなかった「発展的なお話」をしたいと思います。「豆知識」というにはちょっと苦しいぐらい長い文章ですが、ゆったりとお付き合いくださいませ。笑

二次方程式の解の公式は、高校の数学１で覚えさせられたかと思います。暗唱してみるとこんな感じでした。

えっくすいこーるにえーぶんのまいなすびーぷらすまいなするーとびーじじょうまいなすよんえーしー

ほとんど呪文のような文字列ですが、不思議と覚えているものですね。結局のところ、次の式を丸暗記していたのです。

《二次方程式の解の公式》
二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解 $x$ は次の式で表すことができる。

$\displaystyle x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

さて、この式は思い出してもらったとして、では導出の方法については覚えていますか？

高校流の導出方法でやるなら、 $ax^2 + bx + c = 0$ からはじめて、ガチャガチャと式変形していけばよいでしょう。

高校流の方法はこちらでまとめました。（気になった方はどうぞ。）
補足：二次方程式の解の公式（高校流の解き方） - tsujimotterのノートブック

でも、その方法では「なぜこのような公式が得られるのか？」についてはあまりわかりません。なんだかよくわからないまま「いつの間にか公式が導出されていた」と思った人も少なくないはずです。

たとえば、次の質問にはなかなか答えづらいかと思います。
・ $2$ で割っているが、これはどういう意味？
・ルートをとっているのはなぜ？
・ルートの中身は何？

これらの疑問はすべて「式の意味がわからない」ということに集約されます。

今回の記事では、解の公式を「高校流とは異なる方法」で導出することにより「公式の真の理解」を目指したいと思います。

ところで上の解の公式では、二次方程式の２つの解を $\pm$ （プラスマイナス）を使って、無理やり１つで表現していますが、実際には２つの式ですよね。分かりづらいので、それぞれの解を $\alpha, \beta$ として、２つに分けましょう。

$\displaystyle \alpha = \frac{-b+ \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\displaystyle \beta = \frac{-b- \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

後の説明のために、先回りして次のように式変形しておきます。この理由はあとでわかります。

《二次方程式の解の公式（別表現）》
二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の２つの解をそれぞれ $\alpha, \beta$ とすると、これらは次の式で表すことができる。
$\displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$\displaystyle \beta = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

次の項から、この解の公式の導出を目指していきます。

解の恒等式をつくる

まず、次のような、解 $\alpha, \beta$ について当たり前に成り立つ「恒等式」を作ることから始めます。（恒等式とは、 $\alpha, \beta$ に何を代入しても成立する等式のことです。）

$\displaystyle \alpha = \frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2}$

$\displaystyle \beta = \frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2}$

式の右辺をみると、プラスマイナスを除けばまったく同じ形をしています。

そこで、２つの式の共通部分である $\alpha+\beta, \alpha-\beta$ を次のような記号でおきます。

$\displaystyle L_1 = \alpha+\beta$

$\displaystyle L_2 = \alpha-\beta$

すると、恒等式は次のように表現できます。

$\displaystyle \alpha = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}$

$\displaystyle \beta = \frac{L_1}{2} - \frac{L_2}{2}$

この式をはじめて見た人にとっては「なぜこんな変形をしたのか」と思うかもしれません。この部分は、ある種の考え方の転換点（パラダイムシフト）なので無理もないでしょう。

その背景を理解するために、回り道にはなりますが、今回の鍵となる「対称式の基本定理」と「解と係数の関係」という２つの定理を準備しましょう。

準備１：対称式の基本定理

たとえば $\alpha+\beta$ , $\alpha\beta$ , $(\alpha+\beta)^2$ のように、２つの変数 $\alpha, \beta$ を交換しても、式の形が変わらないような式のことを「二次対称式」といいます。「交換」とは、元の式の変数 $\alpha$ を機械的に $\beta$ に置き換え、元の式の変数 $\beta$ を機械的に $\alpha$ に置き換えることです。特に、

$\alpha+\beta$
$\alpha\beta$

の２つの対称式を「二次基本対称式」といいます。

これがなぜ「基本」なのかというと、次のような大事な性質があるからです。

《対称式の基本定理》
すべての（二次）対称式は、（二次）基本対称式の四則演算で表すことが出来る。

ちなみに、今回は「二次」だけを対象としましたが、一般に $n$ 次でも成り立ちます。これを《対称式の基本定理》といって、ウェアリング、ヴァンデルモンドという数学者によって１８世紀の後半に示されました。

この性質は非常に重要です。どんな対称式も、基本対称式によって表すことが出来るからです。やってみましょう。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \alpha^2 + \beta^2 &=& (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \\ \frac{\alpha^3\beta + \alpha\beta^3}{\alpha + \beta} &=& \alpha\beta(\alpha + \beta) - \frac{ 2(\alpha\beta)^2 }{\alpha + \beta} \\ (\alpha - \beta)^2 &=& (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \end{eqnarray}$

ね。ちゃんと、 $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の四則演算で表されているでしょう。

まとめると、

すべての対称式は、基本対称式の四則演算で表される

ということです。あまりに重要なポイントなので、大きな文字で書いてみました。

準備２：解と係数の関係

対称式と方程式の係数の密接な関係を表しているのが、もう１つの定理「解と係数の関係」です。

$\alpha, \beta$ の定義より、二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解ですから、元の二次方程式の左辺は次のように「因数分解」できるはずです。

$(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

この式を展開すると、

$x^2 -(\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

となります。

これを $ax^2 +bx + c = 0$ と見比べます。比べやすいように、係数 $a$ で割っておきます。

$\displaystyle x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

係数を比較すると、次の２式が得られます。

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} -(\alpha+\beta)=\frac{b}{a} \\ \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{array}\right.$

使いやすいように、符号を入れ替えておきましょう。これが《解と係数の関係》です。

《解と係数の関係》
二次方程式 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ の２つの解をそれぞれ、 $\alpha, \beta$ とすると以下が成り立つ。
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \alpha+\beta = -\frac{b}{a} \\ \alpha\beta = \frac{c}{a} \end{array}\right.$

この関係は、1629年にアルベール・ジラールという数学者によって証明されました。彼は「代数学の新しい発明」(Invention Nouvelle en l'Algèbre) という（けったいな）タイトルの本を書いて、 $n$ 次方程式の解と係数の関係を報告しています。

ここで覚えてもらいたい一番のポイントは、

解の基本対称式は、方程式の係数によって表される

という点です。

対称式の基本定理と合わせると、結局こうなります。

解のすべての対称式は、方程式の係数によって表される

すなわち、元々の話に戻ると、解 $\alpha$ あるいは $\beta$ を、何らかの形で対称式（あるいは対称式に準ずる何か）に表すことさえ出来れば、解を係数によって表すことが出来るのです。上の結果は、目的実現のための大きな武器になります！

解の公式の導出

「対称式の基本定理」と「解と係数の関係」という２つの武器を得ました。いよいよ、解の公式の導出に向かいましょう。

上の議論より、解 $\alpha, \beta$ の式を、どうにかして対称式によって表せば良いことが分かりました。そこで、解の恒等式に戻って、以下の式が対称式で表せるかどうか検討してみます。

$\displaystyle \alpha = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}$

$\displaystyle \beta = \frac{L_1}{2} - \frac{L_2}{2}$

どちらも、 $L_1$ と $L_2$ によって表現されています。 $L_1, L_2$ の定義はこうでした。

$\displaystyle L_1 = \alpha+\beta$

$\displaystyle L_2 = \alpha-\beta$

ここで $L_1$ は対称式ですが、 $L_2$ は対称式ではありません。すなわち、対称な部分とそうでない部分が存在します。

ひとまず $L_1$ から考えましょう。この部分は対称式なので、そのまま解の係数によって表すことが出来ます。 $\displaystyle L_1 = \alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ より、

$\displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} + \frac{L_2}{2}$

$\displaystyle \beta = -\frac{b}{2a} - \frac{L_2}{2}$

が得られます。

あとは $L_2$ を係数で表すことが出来ればよいでしょう。残念ながら $L_2$ は対称式ではありません。 $\alpha$ と $\beta$ を入れ替えると、

$\beta - \alpha = -(\alpha - \beta) = -L_2$

となって、符号が反転してしまいます。したがって、係数の四則演算で表すことが出来ません。困りました。

ここで、まだ使っていないとっておきの武器を持ち出します。その武器とは「平方根」です！

まず、 $L_2$ を二乗してみましょう。すると $L_2^2$ は対称式になっていますね！

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha - \beta)^2 = L_2^2$

$L_2^2$ が対称式ということは、 $L_2^2$ は係数の四則演算で表されるということです。 $L_2^2$ の平方根をとれば $L_2$ に戻ってきますから、 $L_2$ を係数の四則演算と平方根によって表すことが出来ます！

さあやってみましょう。

$\displaystyle \begin{eqnarray} L_2^2 = (\alpha - \beta)^2 &=& (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &=& \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\frac{c}{a} \\ &=& \frac{b^2 - 4ac}{a^2} \end{eqnarray}$

よって平方根をとると、

$\displaystyle L_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}$

が得られました。

これを元の恒等式の $L_2$ に代入すると、

$\displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\displaystyle \beta = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

となって、解の公式が得られました。めでたしめでたし。

より高次の方程式への応用

今回紹介した方法は、ラグランジュという高名な数学者が発見した方法です。その証拠に、今回中心的な役割をした $L_1, L_2$ は、ラグランジュ・リゾルベント（ラグランジュの分解式）と呼ばれています。

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ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（1736-1813）

ラグランジュは、今回の方法を二次方程式だけでなく、より高次の方程式（三次方程式や四次方程式）の解の公式を求めるために応用していきました。

実際、この方法をベースに、三次方程式や四次方程式の解の公式を求めることが出来ます。高次の方程式は、普通にやってはなかなか解けないので、一般的に、そして機械的に解くための方法を編み出したのです。

もう少しだけ言うと、ガロアという数学者が、この方法を使って「一般の五次方程式には解の公式が存在しない」ということも証明してしまいました。詳しく知りたい方は、（だいぶ難しい話になりますが）過去に私がつくったスライドをご覧下さい。

代数方程式とガロア理論 from Junpei Tsuji

まとめ

今回のラグランジュによる解の公式の導出方法は、次の手順でまとめられます。

《二次方程式の解の公式の導出法》
1. 解を $\alpha, \beta$ をラグランジュ・リゾルベント（ $L_1, L_2$ ）に分解して表現する。
$\displaystyle \alpha = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}$
$\displaystyle \beta = \frac{L_1}{2} - \frac{L_2}{2}$

2. $L_1$ は対称式なので、解と係数の関係より、係数 $a, b, c$ の四則演算で表現できる。
$\displaystyle L_1 = -\frac{b}{a}$

3. $L_2$ は対称式ではないので、いったん二乗して $L_2^2$ をつくる。 $L_2^2$ は対称式なので、同様に係数の四則演算で表現できる。
$\displaystyle L_2^2 = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$

4. 最後に平方根をとれば、 $L_2$ が得られる。
$\displaystyle L_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}$

5. $L_1, L_2$ を解の分解式に戻すと、解の公式が得られる。
$\displaystyle \alpha = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$\displaystyle \beta = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$