分数の足し算で「約分」が発生する条件(3)

最近、頭の中が「分数の足し算」でいっぱいなtsujimotterです。こんにちは。

前回・前々回の記事から引き続き、分数の足し算の話題です。過去記事はこちらをご覧ください：
tsujimotter.hatenablog.com
tsujimotter.hatenablog.com

さて、これまで分数の足し算 $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ において、素数 $p$ で約分できる条件について考えてきました。前回はp進展開を用いた見方を与えました。

今回はより簡潔に判定できる考え方を教えていただきましたので、それを紹介したいと思います。といっても、原理はp進展開の場合と同じです。

さらに考えを推し進めると「 $p$ で割れるか」だけでなく「 $p^k$ で割れるか」についても議論できることに気づきましたので、それについて紹介します！

pで約分できる条件

この方法は、@toku51n さんに教えていただきました。

4/15+9/35が約分できる理由はざっとこんな感じです。
4/15=(4/3)/5≡(9/3)/5=3/5
9/35=(9/7)/5≡(14/7)/5=2/5
4/15+9/35≡3/5+2/5=5/5
4/15+9/35は5を法として1に合同なので約分した時に分母から5が消えます。つまり通分してみなくても相方として何を足せば分母から5が消えるか計算できるのです。
— TokusiN (@toku51n) 2020年6月19日

例によって $\displaystyle \frac{4}{15} + \frac{9}{35}$ で考えてみましょう。両方とも分母が 5 でちょうど1回割れる（ $v_5(15) = v_5(35) = 1$ ）ので、 $\displaystyle \frac{1}{5}$ を「分母」に残し、それ以外を「分子」に持っていきます。

$\displaystyle \frac{4}{15} + \frac{9}{35} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{9}{7}}{5}$

ここで、もし「分子」の部分が $\bmod{5}$ で $0$ に合同であれば、分子と分母が $5$ で約分できるという寸法です。「 $\bmod{5}$ で」といっていますが、実際「分子」は「5を分母の素因数に持たない既約分数」ですので、実際は $\mathbb{Z}_{(5)}$ の元として $\bmod{5}$ をとっていることに注意します。

すると「分子」は

$\displaystyle \frac{4}{3} + \frac{9}{7} \equiv \frac{9}{3} + \frac{14}{7} = 3 + 2 \equiv 0 \pmod{5\mathbb{Z}_{(5)}}$

となり、たしかに $5$ で約分できるということがわかります。

このことは、 $v_5(15) = v_5(35) = 1$ より $5^1$ を $\displaystyle \frac{4}{15} + \frac{9}{35}$ にかけて

$\displaystyle \left( \frac{4}{15} + \frac{9}{35} \right)\cdot 5^1 \pmod{5\mathbb{Z}_{(5)}}$

を考えると思うことができます。

一般に、次の命題が成り立ちますので、まとめておきましょう：

命題３（ $p$ 進展開を用いた約分判定法）

$a/b, \; c/d$ を既約分数とし、 $p$ を任意の素数とする。

このとき、正の整数 $n$ について次が成り立つ：

$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ が $p$ で約分される
$\;\; \Longleftrightarrow \;\; v_p(b) = v_p(d) = n > 0$ かつ $\displaystyle \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) \cdot p^n \equiv 0 \pmod{p\mathbb{Z}_{(p)}}$

これは前回の命題２（p進展開を用いたもの）を単純に言い換えただけですので、同様に証明できます。

pべきで約分できる条件

実は、上の命題３はさらに一般化することができます。

先ほどは、分母・分子を素数 $p$ で約分できる条件を考えていましたが、素数 $p$ のべき乗で約分できる条件を与えることができます。

命題４（ $p$ 進展開を用いた約分判定法）

$a/b, \; c/d$ を既約分数とし、 $p$ を任意の素数とする。

$1 \leq k \leq n$ なる正の整数 $k, n$ について次が成り立つ：

$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ が $p^k$ で約分される
$\;\; \Longleftrightarrow \;\; v_p(b) = v_p(d) = n > 0$ かつ $\displaystyle \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) \cdot p^n \equiv 0 \pmod{p^k\mathbb{Z}_{(p)}}$