虚数乗法の具体例をもっと計算してみよう（類数2の場合）

本記事は「具体例を通して学ぶ虚数乗法論」シリーズ
tsujimotter.hatenablog.com
の続きの記事となっています。よろしければ、上の過去の記事も一緒にご覧になってください。

さて、前回の記事では、 $K$ が類数1 の虚2次体であるとき、 $\mathcal{O}_K$ に虚数乗法を持つ楕円曲線について計算しました。類数1のケースでは、具体的に楕円曲線のリストがあったので、比較的に容易に計算できたのでした。

一方、類数2以上の場合はどうかというと、そのようなリストは見当たりません。どうやれば具体的な楕円曲線を構成できるかというのが今回のテーマです。

今回は、類数2の虚2次体の例として、 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の場合について考察したいと思います。

目次：

K = ℚ(√-5) に虚数乗法を持つ楕円曲線

ray類体の計算

素イデアルの分解法則の確認

おわりに

K = ℚ(√-5) に虚数乗法を持つ楕円曲線

類数2の例として、 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の場合を考えましょう。今回の記事では、あくまで具体的に紹介することに留めて、別の記事で背景となる理屈を説明します。

まずは、次の記事で書いた j関数の特殊値の計算を思い出します。
tsujimotter.hatenablog.com

ここでは、2つの虚2次無理数

$\displaystyle \alpha_1 = \sqrt{-5}, \;\; \alpha_2 = \frac{1+\sqrt{-5}}{2}$

を用意します。

実は、これらは $K$ のイデアル類群 $\operatorname{Cl}(\mathcal{O}_K)$ の2元

$\operatorname{Cl}(\mathcal{O}_K) = \{ \; [1, \; \sqrt{-5}], \;\; [2, \; 1+\sqrt{-5}] \; \}$

に対応しています。

代表元 $[ 1, \; \sqrt{-5} ]$ の生成元 $1, \sqrt{-5}$ を割り算した $\sqrt{-5}$ が $\alpha_1$ に対応していて、もう一方の $[ 2, \; 1+\sqrt{-5} ]$ の生成元 $2, 1+\sqrt{-5}$ を割り算した $\frac{1+\sqrt{-5}}{2}$ が $\alpha_2$ に対応していますね。

これらに対応するj関数の値

$\displaystyle j(\alpha_1), \;\; j(\alpha_2)$

を上の記事では計算しています。実際、

$\displaystyle \begin{align} j(\alpha_1) &= 632000 + 282880\sqrt{5} \\ j(\alpha_2) &= 632000 - 282880\sqrt{5} \end{align}$

となることがわかります。

さて、ここで重要な情報は、上記の２つに対応するj不変量を持つ楕円曲線を具体的に構成できるということです。

$\displaystyle E_1\colon y^2 + xy = x^3 - \frac{36}{j(\alpha_1) - 1728}x - \frac{1}{j(\alpha_1) - 1728}$

$\displaystyle E_2\colon y^2 + xy = x^3 - \frac{36}{j(\alpha_2) - 1728}x - \frac{1}{j(\alpha_2) - 1728}$

これらは実は $\mathcal{O}_K$ に虚数乗法を持つ楕円曲線になっていて、そのj不変量の値 $j(E_1), \; j(E_2)$ は

$j(E_1) = j(\alpha_1)$

$j(E_2) = j(\alpha_2)$

という具合に、元々の $j(\alpha_1), \; j(\alpha_2)$ の値に一致します。

以前紹介したように、2つの楕円曲線 $E, E'$ のj不変量が等しいのは、 $E, E'$ が同型な場合に限るという事実がありました。

$E \simeq E' \;\; \Longleftrightarrow \;\; j(E) = j(E')$

したがって、 $\mathcal{O}_K$ に虚数乗法を持つ楕円曲線の持つj不変量の値は、相異なる楕円曲線の同型類を生成します。これにより、上で挙げた $E_1, \; E_2$ は同型ではないということが分かります。

また、 $\mathcal{O}_K$ に虚数乗法を持つ楕円曲線の同型類の個数は、 $K$ のイデアル類群の位数に一致するという事実があります。

何が言いたいかというと、 $\mathcal{O}_K$ に虚数乗法を持つ楕円曲線は、上の $E_1, E_2$ のいずれかに同型だということです。つまり、すべて列挙したことになります。

f:id:tsujimotter:20200718135533p:plain:w500

今回は $E_1$ を使ってray類体を計算しましょう。そのために、 $E_1$ の定義方程式を変形しておきたいと思います。まず、係数を $g_1, \; g_2$ と置きます：

$\displaystyle E_1\colon y^2 + xy = x^3 - g_1 x - g_2$

左辺を平方完成して

$\displaystyle \left(y + \frac{1}{2}x\right)^2 = x^3 + \frac{1}{4}x^2 - g_1 x - g_2$

とすることで $xy$ の項を消すことができます。また、 $x = X - \frac{1}{12}$ なる変数 $X$ を導入して

$\displaystyle \left(y + \frac{1}{2}\left(X - \frac{1}{12}\right) \right)^2 = \left(X-\frac{1}{12}\right)^3 + \frac{1}{4}\left(X-\frac{1}{12}\right)^2 - g_1 \left(X-\frac{1}{12}\right) - g_2$

とすることで、最終的に得られる右辺からは $X^2$ の項が消えることになります。

したがって、 $X = x + \frac{1}{12}, \; Y = y + \frac{1}{2}x$ という変数変換によって

$E_1'\colon Y^2 = X^3 + AX + B$

という形に変換できたことになります。これはray類体の計算のときに使える形式の定義方程式になっていますね。

楕円曲線 $E_1'$ の定義方程式を具体的に計算してもよいのですが、少し面倒です。そこで、元々の $E_1$ の等分点を計算して、その座標を変数変換 $X = x + \frac{1}{12}, \; Y = y + \frac{1}{2}x$ によって写して使用することにします。

ray類体を構成するために必要なのはウェーバー関数を通した座標であり、ウェーバー関数の定義より、必要なのは $x$ 座標だけです。 $\frac{1}{12} \in \mathbb{Q}$ なので、 $E_1$ の $x$ 座標をそのまま添加しても問題なさそうですね。

というわけで、 $E_1'$ の具体的な表示は不要であることが分かったので、以下では $E_1$ をそのまま計算したいと思います。

ray類体の計算

まず、 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ のヒルベルト類体 $H$ を決定します。 $j(E_1) = j(\alpha_1) = 632000 + 282880\sqrt{5}$ より

$H = K( j(E_1) ) = K(\sqrt{5}) = \mathbb{Q}(\sqrt{-5}, \sqrt{5})$

ということになりますね。

楕円曲線 $E_1$ は、この $H$ 上定義されていると考えることができます。これをSagemathで定義したいと思います。（通常通り $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線として定義しようとするとエラーが出てしまうので注意。）

K.<a> = NumberField(x^2 + 5); K
H.<b> = K.extension(x^2 - 5); H

j = 632000 + 282880*b

E = EllipticCurve(H, [1, 0, 0, -36/(j-1728), -1/(j-1728)]); E
E.j_invariant()

結果は次の通りです。

Number Field in a with defining polynomial x^2 + 5
Number Field in b with defining polynomial x^2 - 5 over its base field
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 + (-9945/2795584*b+11079/1397792)*x + (-1105/11182336*b+1231/5591168) over Number Field in b with defining polynomial x^2 - 5 over its base field
282880*b + 632000

j不変量 $j(E_1)$ の値も、元々の $j(\alpha_1)$ の値一致していることが分かりますね。

それでは、 $E_1$ の2等分多項式を計算しましょう。

f = E.division_polynomial(2); f
fac = f.factor(); fac

結果は次の通りです。

4*x^3 + x^2 + (-9945/698896*b + 11079/349448)*x - 1105/2795584*b + 1231/1397792
(4) * (x - 8/209*b + 73/836) * (x^2 + (8/209*b + 34/209)*x - 9/13376*b + 7/6688)

2等分多項式は

$\displaystyle 4x^3 + x^2 + (\frac{11079}{349448} - \frac{9945}{698896}\sqrt{5})x + \frac{1231}{1397792} - \frac{1105}{2795584}\sqrt{5}$

であることがわかりました。これを分解すると

$\displaystyle 4\left( x + \frac{73}{836} - \frac{8}{209}\sqrt{5} \right) \left( x^2 + (\frac{34}{209} + \frac{8}{209}\sqrt{5})x + \frac{7}{6688} - \frac{9}{13376}\sqrt{5} \right)$

となりますので、2等分点の $x$ 座標は本質的に2次拡大を生成することが分かりますね。

というわけで、2等分多項式の2次の因数を $g(x)$ とします。 $g(x)$ のすべての根を $H$ に添加した体が、 $K$ 上の導手 $(2)$ のray類体 $K_{(2)}$ となります。

$K_{(2)} = H( h(E_1[2]) ) = K(j(E_1), \; h(E_1[2]))$

これをSagemathの方では $L$ と名付けて計算しましょう。

g = fac[1][0]; g
print("")
L.<c> = H.extension(g); L
print("")
L.absolute_vector_space()

結果は次の通りです。

x^2 + (8/209*b + 34/209)*x - 9/13376*b + 7/6688

Number Field in c with defining polynomial x^2 + (8/209*b + 34/209)*x - 9/13376*b + 7/6688 over its base field

(Vector space of dimension 8 over Rational Field, Isomorphism map:
  From: Vector space of dimension 8 over Rational Field
  To:   Number Field in c with defining polynomial x^2 + (8/209*b + 34/209)*x - 9/13376*b + 7/6688 over its base field, Isomorphism map:
  From: Number Field in c with defining polynomial x^2 + (8/209*b + 34/209)*x - 9/13376*b + 7/6688 over its base field
  To:   Vector space of dimension 8 over Rational Field)

$\mathbb{Q}$ 上の拡大次数は $[ K_{(2)} : \mathbb{Q}] = 8$ となっていて、その内訳は

$[K_{(2)} : H] = 2, \;\; [H : K] = 2, \;\; [K : \mathbb{Q}] = 2$

となっています。

素イデアルの分解法則の確認

ray類体が計算できたので、 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の素イデアルの分解法則を考えましょう。

まず、 $K$ のヒルベルト類体 $H$ の分解法則により、 $K$ の単項素イデアル $\mathfrak{p} = (\pi)$ が $H$ で完全分解することになります。 $[H : K] = 2$ より、完全分解とは2個の素イデアルの積に分解されることを指します。

その中で特に $\mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{(2)}$ のものが、その上の $K_{(2)}$ で完全分解されることになるのです。 $[K_{(2)} : K] = [K_{(2)} : H] \cdot [H : K] = 4$ より、完全分解とは4個の素イデアルの積に分解されることを指します。

前回同様の注意ですが、 $\mathfrak{p} = (\pi) = (-\pi)$ と表せるので、

$\pi \equiv 1 \pmod{(2)}$ または $\pi \equiv -1 \pmod{(2)}$

という条件であることに注意しましょう。

よって、たとえば $\pi = 17$ のように、 $(\pi)$ が $K$ の素イデアルであれば、 $K_{(2)}$ においても完全分解するはずです。実際に確かめてみましょう。

K.factor(17)
H.factor(17)
L.factor(17)

Fractional ideal (17)
(Fractional ideal (-1/5*a*b + 4)) * (Fractional ideal (-1/5*a*b - 4))
(Fractional ideal (((188/55*a + 556/55)*b - 172/55*a - 180/11)*c + (1/55*a + 28/55)*b + 4/55*a + 7/11)) * (Fractional ideal (((-36/11*a + 172/55)*b + 556/55*a - 188/11)*c + (-3/11*a - 4/55)*b + 28/55*a - 23/11)) * (Fractional ideal (((188/55*a - 556/55)*b - 172/55*a + 180/11)*c + (23/55*a - 28/55)*b + 4/55*a + 15/11)) * (Fractional ideal (((188/55*a - 556/55)*b - 172/55*a + 180/11)*c + (1/55*a - 28/55)*b + 4/55*a - 7/11))

分解の様子を見ると、 $K$ の素イデアル $(17)$ は、 $H$ で2個の素イデアルの積に分解し、 $K_{(2)}$ で4個の素イデアルの積に分解していることが分かりますね。たしかに、 $(17)$ は $K_{(2)}$ で完全分解することが確認できましたね。

先ほど $(17)$ を選んだ理由ですが、 $(17)$ が $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ で惰性するというのがその理由です。

実際、 $\left(\frac{-5}{p}\right) = -1$ となる $(p)$ が $K$ で惰性します。平方剰余の相互法則より

$\displaystyle \left(\frac{-5}{p}\right) = \left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{5}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p}{5}\right)$

ですから

$p\equiv 11, \; 13, \; 17, \; 19 \pmod{20}$

が $K$ で惰性することになります。

それでは、 $p < 300$ なる素数のうち、特に $K$ で惰性するものについて、 $H, \; K_{(2)}$ における分解の様子を調べてみましょう。

P = Primes()
p = P.first()
while p < 300:
    if p % 20 == 11 or p % 20 == 13 or p % 20 == 17 or p % 20 == 19:
        pk = K.factor(p)
        ph = H.factor(p)
        pl = L.factor(p)
        print p, len(pk), len(ph), len(pl)
    p = P.next(p)

いずれも $H, \; K_{(2)}$ で完全分解していることが分かりますね。面白いです！