…類環」の中で起きる「フェルマーの小定理」「原始根定理」「オイラーの規準」「平方剰余の相互法則」といった一見小難しい定理群を、「時計の世界」という言葉を一貫して使って平易に解説することを目指した発表になっています。実は、上の文面は、佐野さんのレポートのほぼ丸写しなのですが、改めて考えると上のように集約されるような内容の話をしていたのです。他の人にレポートをまとめてもらうと、気づかされることが多いので面白いですね。あと、今回は新しい試みとして「配布資料」を作りました。スライド内の…

…が素数であるときは、フェルマーの小定理と関連しますから、この結果は非常に重要です。 が２つの素数の積で表される数のとき さて、最後です。 が という２つの素数の積で表される数のときを考えましょう。すなわち、この状況は、RSA 暗号で重要な役割を果たしましたね。 さて、先ほどと同様に より小さい数を考えると、それは の 個です。 ここで、 より、上で挙げた数が素因数 と を約数に持つかを考えます。 を素因数に持たない数が、私たちが求める と互いに素な数です。 イメージしやすいよ…

…ログでよく登場する「フェルマーの小定理」の拡張版になっています。もし、 が素数 であれば、そのオイラー関数は より、 が成り立つわけです。 「オイラーの定理」については、tsujimotter の旧ブログのこちらの記事も参考になります： オイラーの定理を導くまで さてここで、オイラーの定理の式 (4) の に を代入した後、さらに両辺を 乗します。ただし は整数です。この式の両辺に をかけましょう。するとどうでしょう。式 (3') と全く同じ形になりましたね。同じ式の形になっ…

…るからである． 次にフェルマーの小定理より， であるから，先ほどの位数 は を割り切る． ところで， のときには，フェルマー数は素数となるから，この証明では を考えてよい．したがって， は を割り切る．よって，上の結論とあわせて， は を割り切る．すなわち， である． 平方剰余の第二補充則より， であれば， は法 の平方剰余である．したがって，平方剰余におけるオイラーの規準により，である． 結局，(3) により， の位数 は を割り切ることがわかった．すなわち，双方 2 倍し…

…：循環小数(1): フェルマーの小定理 - tsujimotterのノートブック 第２回：循環小数(2): Midyの定理（前編） - tsujimotterのノートブック 第３回：循環小数(3): Midyの定理（後編） - tsujimotterのノートブック 第４回：循環小数(4): 平方剰余の相互法則 - tsujimotterのノートブック 本記事は、循環小数問題の解説編として書いています。 解説編の第１回では 循環小数は (p-1) 桁で循環する という基本的な事…