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tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

素数と2次体の整数論

「57 は 3 で割れ切れる」の別証明(したかった)

2017/02/04: こちらの記事の計算に誤りがあることが発覚しました。今は手が離せないので,また後ほど訂正いたします・・・。2017/02/05: 上記の誤りについてですが,たしかに誤りであることが確認できました。どの箇所が誤っているかについて,末尾の「追記…

ガウスの種の理論 (Genus Theory)

今日考えたい問題は という二次形式で書ける素数の法則です。実際,という法則が知られており, の素イデアル分解によって説明できます。これについて,以前の記事でまとめたことがありました。 tsujimotter.hatenablog.com一方で,上の記事では「たまたまそ…

163とドカベン素数

4 で割って 1 あまる素数は,すべて2つの平方数の和でかけるという事実は,非常に有名なのでご存知の方も多いかと思います。私のブログでもたびたび取り上げてきました。フェルマーが発見したので,フェルマーの二平方定理(あるいは,二平方和の定理)とい…

オイラーの素数生成多項式の秘密

今日はオイラーが発見した, という多項式についてお話したいと思います。 ある特別な に対して,多項式の に整数 を入れていくと,「素数」が次から次へとたくさん出てくるのです。まるで 「魔法の多項式」 です。これだけでも十分面白いのですが,なんとこ…

二次体 Q(√-5) のイデアル類群と xx + 5yy 型の二次形式

関連記事: tsujimotter.hatenablog.com 「イデアル類群は,単項イデアル整域からどれだけ離れているかを測る "ものさし" である」 というような文章は,イデアル類群を簡単に説明するためによく用いられる解説ですが,こんな説明を聞いても「はぁ?何言って…

Z[√-5] のイデアルについて

二次体 上の整数環 を考えたときに,その代数的整数に対して「素因数分解の一意性は必ずしも保証されない」 という問題は,代数的整数論のイントロダクションとして重要なトピックだと思います。具体的には, のときには, という数が2通りに素因数分解され…

独習ノート「素数と2次体の整数論」#3.5:単項イデアルの性質

《独習ノート:「素数と2次体の整数論」シリーズ》の補足回です。今回のテーマは「単項イデアルの性質」について。該当箇所は、第1章の 問題 1.12 です。本当は飛ばそうかと思ったのですが、あとのことも考えると書いておいた方が良さそうだと、思い直しま…

独習ノート「素数と2次体の整数論」#3:Z のイデアル (2/2)

今日は「 のイデアルは、常に単項イデアルである」を証明します。その過程で「割り算の原理」という非常に重要な定理が登場します。該当箇所は前回に引き続き「1.3 のイデアル」です。 今回の文章は、ちょっと長いかもしれません。なかなかすんなりとは行か…

独習ノート「素数と2次体の整数論」#2:Z のイデアル (1/2)

今回は「イデアル」の導入と定義について。教科書の該当箇所は「1.3 のイデアル」です。内容が濃いので、2回に分けてお話します。

独習ノート「素数と2次体の整数論」#1.5:集合の包含関係(補足)

今回は、《独習ノート:「素数と2次体の整数論」シリーズ》の補足回です。今回の内容は、教科書に該当する箇所はありません。明日以降の記事で「集合の包含関係」についての性質を使うので、この記事で先に触れておきたいと思います。

独習ノート「素数と2次体の整数論」#1:約数と倍数

前回からはじまった独習ノートシリーズです。テーマは「整数論」。今日は整数論で最も基本的な「1.2 約数と倍数」について学んでいきたいと思います。

独習ノート「素数と2次体の整数論」#0:動機

教科書を1つ決めて、それに沿って tsujimotter が勉強した過程をまとめていく連載シリーズです。 本シリーズの教科書はこちら。素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)作者: 青木昇,飯高茂,中村滋,岡部恒治,桑田孝泰出版社/メーカー: 共立出版発売日: 2…