独習ノート「素数と２次体の整数論」＃２：Z のイデアル (1/2)

今回は「イデアル」の導入と定義について。教科書の該当箇所は「1.3 $\mathbb{Z}$ のイデアル」です。内容が濃いので、２回に分けてお話します。

教科書を１つ決めて、それに沿って tsujimotter が勉強した過程をまとめていく連載シリーズです。
本シリーズの教科書はこちら。

素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

作者: 青木昇,飯高茂,中村滋,岡部恒治,桑田孝泰
出版社/メーカー: 共立出版
発売日: 2012/12/21
メディア: 単行本
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初回（＃０）：動機・諸注意
前回（＃１）：約数と倍数
補足回（＃１．５）：集合の包含関係
次回（＃３）：Z のイデアル (2/2)

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さて、前回の定理を再掲するとこうでした。

定理 1.6 （再掲）
整数 $a, b, c$ に対して $ax + by = c$ となる整数 $x, y$ が存在するためには， $\gcd(a, b) \mid c$ であることが必要十分である．

「さぁ、定理 1.6 を証明しよう！」と言いたいところですが、直接 定理 1.6 を証明したりはしません。どうするかというと、より抽象的な定理を証明して、その系として 定理 1.6 を示すのです。

よりメタな視点が必要です。

というわけで、定理 1.6 を視点をかえて眺めてみたいと思います。少し考えると、定理 1.6 は次のように言い換えることができます。

『 $ax + by \;\; (x, y \in \mathbb{Z})$ という形の整数全体の集合は $d$ の倍数全体と一致する』

倍数全体のなす集合や倍数の一次結合のなす集合が鍵となっていることがわかりますね。

今回は、こういった集合をより一般的に扱う方法を考えていきます。

$\mathbb{Z}$ のイデアル

まず、整数 $a_1, \ldots, a_n$ に対して、以下のような集合を考えましょう。

$a_1\mathbb{Z} + \cdots + a_n\mathbb{Z} = \left\{ a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n \mid x_1, \ldots , x_n \in \mathbb{Z} \right\} \tag{1.1}$

$n=1$ のときは $a_1$ を $a$ と表記してこうなります。

$a\mathbb{Z} = \left\{ ax \mid x \in \mathbb{Z} \right\} \tag{1.2}$

これらを使うと、先ほどの定理は、整数 $a, b$ を用いて次のように言い換えられます。

$a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = d\mathbb{Z} \tag{1.3}$

ただし、 $d = \gcd(a, b)$ です。

だいぶシンプルになってきましたね。

この集合 $a_1\mathbb{Z} + \cdots + a_n\mathbb{Z}$ を足がかりとして、より一般的な定理を示していくわけです。

とはいえ、今のままでは武器がありません。ここで、いったん頭を切り替えて、「そもそも集合 $a_1\mathbb{Z} + \cdots + a_n\mathbb{Z}$ は、いったいどのような性質を持つ集合か」という、別の問いを発してみることにしましょう。この問いに答えるものが、次の 命題 1.9 です。

命題 1.9
集合 $A = a_1\mathbb{Z} + \cdots + a_n\mathbb{Z}$ は次の二つの条件をみたす．
　(1) $a, b \in A \Longrightarrow a - b \in A$ ．
　(2) $a \in A, z \in \mathbb{Z} \Longrightarrow az \in A$ ．

これが成り立つことを証明しましょう。証明は、そのまま計算するだけです。

（証明）
任意の $a, b \in A$ に対して， $a = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n$ ， $b = a_1 y_1 + \cdots + a_n y_n$ ，ただし， $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n \in \mathbb{Z}$ とおけば，

$\begin{eqnarray} a-b &=& a_1(x_1 - y_1) + \cdots + a_n(x_n - y_n) \in A \\ az &=& a_1 (x_1 z) + \cdots + a_n (x_n z) \in A \end{eqnarray}$

より，(1), (2) が成り立つ．

（証明終わり）

ここで、 $A$ は「整数 $\mathbb{Z}$ の部分集合」です。逆に、 $\mathbb{Z}$ の部分集合で、上の性質を満たすものを考えましょう。

これがイデアルです。

定義 1.10
以下の (1), (2) の条件をみたす $\mathbb{Z}$ の部分集合 $A$ を $\mathbb{Z}$ のイデアルと呼ぶ．
　(1) $a, b \in A \Longrightarrow a - b \in A$ ．
　(2) $a \in A, z \in \mathbb{Z} \Longrightarrow az \in A$ ．

特に，イデアル $A = a\mathbb{Z}$ を $a$ で生成される単項イデアルと呼ぶ．

強調しておきますが、 $\mathbb{Z}$ のイデアルは「整数 $\mathbb{Z}$ の部分集合」です。要素はもちろん整数です。

$\mathbb{Z}$ のイデアルの諸性質

イデアルに慣れるために、 $\mathbb{Z}$ のイデアル $A$ の諸性質を示しておきましょう。

定理（ $\mathbb{Z}$ のイデアル $A$ の性質）
$\mathbb{Z}$ の任意のイデアル $A$ に対して，以下の (a), (b) が成り立つ．
(a) $0 \in A$
(b) $m \in A \Longleftrightarrow (-m) \in A$

結局これは、 $\mathbb{Z}$ のイデアル $A$ は、 $0$ と負の数を要素として持つということです*1。このことは、次回ちょっとだけ使います。

（証明）
(a) について：
$A$ はイデアルより， 定義 1.10 の (1) から， $A$ の任意の要素 $a$ に対して $a - a \in A$ が成り立つ．よって， $a-a = 0$ より $0 \in A$ ．

(b) について：
$A$ はイデアルより， 定義 1.10 の (1) から， $A$ の任意の要素 $a$ に対して $0 - a \in A$ が成り立つ．よって， $0-a = -a$ より $-a \in A$ ．同様に逆も成り立つ．

（証明終わり）

これらの結果をまとめると、 $\mathbb{Z}$ のイデアルについて次のような図が書けるでしょう。

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図：「 $\mathbb{Z}$ のイデアル」のイメージ

すべての $\mathbb{Z}$ のイデアル $A$ は $\mathbb{Z}$ の部分集合であること、 $0$ が存在すること、すべての $a\in A$ に対して $-a$ が存在すること、の３点に注目してください。

イデアルの使い道

さて、ここまで「イデアルの定義」について説明しました。

まだまだ「イデアルが何を表しているのか」わかりづらいかもしれませんね。イメージが沸きづらいこともあって「何やら全然関係のない脇道にそれてしまった」と思っている人もいるかもしれません。

ところが、このイデアルという概念は、ちゃんと 定理 1.6 の証明に「役に立つ」のです。本記事の締めくくりとして、「イデアルが 定理 1.6 の証明にどのように役に立つのか」を示して終わりたいと思います。

実は $\mathbb{Z}$ のイデアルを使うと、上の 定理 1.6 は、より抽象的な次の 定理1.13 における「特殊な系」として表現できるようになります。これが面白いポイントです。

定理 1.13
$\mathbb{Z}$ の任意のイデアル $A$ に対して，ある整数 $m \geq 0$ が存在して $A = m\mathbb{Z}$ が成り立つ．

定理 1.13 は、要するに次のことを主張しています。

「 $\mathbb{Z}$ のイデアルは、常に単項イデアルである」

この主張はなかなか強力です。たとえば上の式 (1.1) で定義した、

$a_1\mathbb{Z} + \cdots + a_n\mathbb{Z} = \left\{ a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n \mid x_1, \ldots , x_n \in \mathbb{Z} \right\} \tag{1.1再掲}$

は $\mathbb{Z}$ のイデアルですが、これに等しい $\mathbb{Z}$ の単項イデアルが常に存在するというわけです。それをたとえば $d\mathbb{Z}$ とおけば

$a_1\mathbb{Z} + \cdots + a_n\mathbb{Z} = d\mathbb{Z}$

となります。たとえば、左辺が n = 2 だとして， $a_1 = a, a_2 = b$ とおけば，

$a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = d\mathbb{Z} \tag{1.3再掲}$

となりますから、 定理 1.6 の言い換えと同じ形の式が現れました。面白いでしょう！（厳密に言えば、 $d = \gcd(a, b)$ であることを示していないので、片手落ちですが。）

これらの事実から、整数 $\mathbb{Z}$ においては、単項イデアルが重要であることもわかります。整数 $\mathbb{Z}$ 以外ではどうなるのかも気になるところですね。

次回予告

次回は 定理 1.13 の攻略をしたいと思います。そこでは「割り算」がキーワードになります。

次回記事です（2014/1/11追記）
<a href="http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/prime-number-and-quadratic-field-3">独習ノート「素数と２次体の整数論」＃３：Z のイデアル (2/2) - tsujimotterのノートブック</a>

*1:群の言葉を使うと「 $\mathbb{Z}$ のイデアルは、加法に対してアーベル群（可換群）をなす」ということができます。もっというと $A$ は $\mathbb{Z}$ の部分集合なので「 $\mathbb{Z}$ の加法群における部分群」です。