… 次となり、これを クンマー拡大 と言います。 拡大の様子を図に表すと、このようになります： クンマー拡大とは、元々、任意の位数の巡回群をガロア群に持つ拡大（巡回拡大）を考える中で生まれた拡大です。 は 次の巡回拡大となります。一般に、1の 乗根全体を含む体 の上の巡回拡大 は にある 乗根を添加することで得られるというのがクンマー理論でした。参考： tsujimotter.hatenablog.com さて、ここで考えたいのは、クンマー拡大における 素イデアルの分解法則 で…

…整数との関係 3. クンマーの問題提起：素因数分解の一意性 4. クンマーのアイデア1：イデアルと類数 5. クンマーのアイデア2：正則素数pにおけるFLT(p)の解決 6. おわりに 参考文献 関連記事 1. フェルマーの最終定理の歴史 今から約380年くらい昔、ピエール・ド・フェルマーによって次の「予想」が提出されました。フェルマーの最終定理 を 以上の任意の整数とする。このときを満たす なる整数解 は存在しない。 この定理の主張について、フェルマー自身は論文としてはまと…

…す。実は、 の正体はクンマー写像と呼ばれるものです。 上の楕円曲線 の間の同種写像 は全射であることと、 に が自然に作用することから、 加群の短完全列が得られます。この短完全列に対し、ガロアコホモロジーの長完全列をとるとなる単射が得られます。これがクンマー写像です。この写像は、長完全列を構成する際に使う「蛇の補題」の「連結準同型」になっています。 ここで、 となっていて、この写像 を書き下したものが、まさに上の準同型になっているということです。参考： tsujimotter…

今回のテーマは 「群コホモロジー」 です。整数論や諸々を勉強していると、群コホモロジーという言葉をよく耳にします。調べてみると、とても難しそうな定義が並んでいてよくわからない。少し前までの私はそんな感じでした。一方で、難しい定義であっても、辛抱強く理解しようと試みれば、いつの間にか慣れてしまうこともあるようです。実際、今の私はそれなりに群コホモロジーを受け入れることができています。まずは定義を受け入れてみることが大事なのかもしれません。というわけで、「定義をとにかく理解する」…

…曲面の歴史は、数学者クンマーに始まります。クンマーは私の大好きな数学者の一人で、このブログにも度々登場します。 クンマー の検索結果 - tsujimotterのノートブック クンマーによって、K3曲面の一種である「クンマー曲面」なるものが発見されました。クンマー（Kummer）のほか、ケーラー（Kähler）、小平（Kodaira）という３人の数学者の頭文字をとってK3曲面と呼ばれているそうです。K3という変わった名前は、アンドレ・ヴェイユによって1958年に名付けられまし…

…定理90」を使って、クンマー理論を導く話を書いたことがありました。 tsujimotter.hatenablog.com今回は ヒルベルトの定理94 という定理について紹介したいと思うのですが、実はこの証明にも群コホモロジーが登場し、クンマー理論のときとほとんど同じような流れで議論ができるのです。なかなか面白いので、ぜひ最後までお付き合いください。 目次： 単項化定理 ヒルベルトの定理94 ヒルベルトの定理94の証明 おわりに 参考文献 単項化定理 まずは「単項化」とは何かに…

明けましておめでとうございます。新年最初の記事になりますが、もう既に新年から２ヶ月以上経っていることに驚きました。さて、本日あたりから「p進ゼータ関数」という本が店頭に並び始めました。p進ゼータ関数 久保田-レオポルドから岩澤理論へ (シリーズ「ゼータの現在」)作者: 青木美穂出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 2019/02/22メディア: 単行本この商品を含むブログを見る先月1/25も「重点解説 岩澤理論」という本が発売されていました。重点解説 岩澤理論 2019年 …

…関連記事： FLTとクンマーとイデアル類群 - tsujimotterのノートブック 第38話 「魔六角陣」の左斜め・右斜め・横の和がそれぞれ 38 になるという数式です。関連記事： なし 第39話 の整数部分が で、小数部分が無限級数の形でかけるという数式です。関連記事： なし ちなみに、 は「おもしろくないという性質を持つ最小の数」という不名誉な特徴で語られることがあります： 「おもしろくない」ゆえに「おもしろい」数 - 新・身近な科学 第40話 の「ペル方程式」の最小解…

…が、過去の記事では「クンマー完全系列」と呼んでいました。同じものです。 *6:前回は群コホモロジーの表記に合わせて のように書いていました。一方で、 を の絶対ガロア群としたときの、ガロアコホモロジーは一般に と表記されることが多いため、今回はこのように表記します。 *7:２本の完全列のうち、上の系列の左端が 0 になっていることに注意しましょう。つまり が単射。このとき、蛇の補題で得られる系列の左端の射 が単射になることが示せます。したがって、得られる系列は 0 から始まる…

…す。よって、 が体であることを確認しましょう。 として において よりとなります。ここで、 は既約より、 が体であることがわかりました。よって、 も体です。以上で、 は素イデアルが示せました。 参考文献 数論序説作者:小野 孝裳華房Amazon代数的整数論 POD版 (数学全書)作者:石田 信森北出版Amazon *1:TPO的な意味で *2:もっとスマートなやり方があれば教えてください *3:イデアルとしては、 も も等しいので、ひっくり返しています。 *4:またクンマーか

…第17回数学カフェ「クンマーの合同式とゼータ関数の左側」 開催概要と当初の計画 大まかな分担について 数学カフェへの意気込みと事前の準備 テーマ選定 #1, #2「ゼータへ続く素数の階段物語（リーマンの素数公式）」 #3, #4「素数は孤独じゃない（素イデアルの分解法則）」 #5 「素イデアルの分解法則 番外編」 数学カフェ「素数！！」のその後 #6「フロベニウスやばい」 第17回数学カフェ：クンマーの合同式とゼータ関数の左側 まとめ そのほかの思い出 謝辞 ※ 全部で2万字…

…負の整点の値 は，「クンマーの合同式」という関係式を持つなど 進的な性質を有しています。この性質に着目して，ゼータ関数の値を 進的に補完していくと，p進L関数 という性質のよい関数が得られるのでした。 は岩澤代数 の元となります。 tsujimotter.hatenablog.comイデアル類群の変わりに 加群 を考え，ゼータ関数の代わりに の元である を考えるのです。こうすることで両者を同じ土俵に置くことができ，等式で結ぶことができるようになります。 岩澤主予想のイメージ厳…

…90の使い道として「クンマー理論への応用」を紹介します。実は，前回紹介した「クンマー理論」は，ヒルベルトの定理90を用いて導くことができます。参考：クンマー理論 tsujimotter.hatenablog.com 途中で難しい式変形もしますが，わからなければ「へぇ，こんな風に変形していくんだ」と読み飛ばして楽しんでいただければと思います。 （ところどころ自信のない箇所もありますので，勉強なさる際は鵜呑みにせずに専門書を当たってください。） クンマー理論を導く まず，クンマー…

クンマー拡大についての記事を準備しているうちに，いくぶん理解が進んできました。 tsujimotter.hatenablog.com今日は，本題の「クロネッカー・ウェーバーの定理」から離れて「クンマー理論」について紹介します。クンマー理論については，しばらく前からずっと理解したいと思っていたものでしたので，ちょうどよい機会だと思いました。特に，クンマー理論の主定理の理解を目指しましょう。 クンマー理論のセッティング まず，１の 乗根全体の集合を とおきましょう。前回同様， は…

今日は「クンマー・ペアリング」についてのお話です。以下のシリーズの続きです。 tsujimotter.hatenablog.comこの記事は，現代数学で尾崎学先生が連載されている「ガロア理論からみた現代数学」で紹介された内容を参考に書いています。該当回は2015年の６月から８月あたりです。連載の中で紹介された証明は，Neumann による証明をベースにしているそうです。非常に面白いトピックを扱った連載なので，詳しい内容を知りたい方はぜひ購入して読んでみてください。現代数学 2…

…com今日の主役は クンマー拡大 です。クンマー拡大とは，「巡回拡大」が「ベキ根の添加」によってかけるような拡大のことです。このような拡大のときは，いろいろと都合がよい性質があるのです。この記事は，現代数学で尾崎学先生が連載されている「ガロア理論からみた現代数学」で紹介された内容を参考に書いています。該当回は2015年の６月から８月あたりです。連載の中で紹介された証明は，Neumann による証明をベースにしているそうです。非常に面白いトピックを扱った連載なので，詳しい内容を…

7/19から7/28の計9日間，Iwasawa2017という国際研究集会が東京大学にて開催されました．岩澤理論における世界的スーパースターが一堂に会し活発な議論が行われました． 実はtsujimotterもこっそり参加しておりました．感想やレポートはまたいずれ書きたいと思いますが，今日は別のお話をしたいと思います． 今日は，Iwasawa2017の講演者の一人であるジョン・コーツ先生*1の結果の中で，私のお気に入りの定理「コーツ・ワイルズの定理」についてご紹介したいと思います…

…れらをまとめたものがクンマーの合同式です。あとで詳細は紹介しますが，クンマーの合同式は，簡単にいえば のときに に対して の合同式が成り立つことを主張する定理です。言い換えれば がp進的に近ければ， もp進的に近いことを表しています。ゼータ関数の特殊値に存在する「p進的な性質」を示唆していると言えます。 この辺のお話は「ゼータ関数の左側」の性質として，数学カフェでも紹介したことがありました。以下のスライドにまとめているのでご覧になってください。 クンマーの合同式とゼータ関数の…

…す。このような拡大をクンマー拡大と言います。2. については，非常に奥深い証明になります。おそらくこの部分がもっとも本質的な証明になるはずです。ガロア群を として群環 を考えます。この群環の元である Stickelberger元 と呼ばれる重要な対象が登場します。2. の証明には「Stickelberger元が素イデアルに作用するとガウス和が現れる」という性質を用いることになります。この辺りには「クンマー・ペアリング」という道具や「円分体の素イデアル分解法則」といった代数的整…

…。１９世紀の数学者，クンマーの理論によると「素数 がイデアル類群の位数を割り切ること」と「素数 がゼータ関数の特殊値を割り切ること」は同値であることが知られています。このような「イデアル類群とゼータ関数の間の密接な関係」の背景には，実は岩澤理論があったというわけです。 岩澤理論は，以下に挙げる３本の柱によって成り立っています。・岩澤類数公式（岩澤加群側） ・p進L函数の存在（岩澤函数側） ・岩澤主予想（岩澤加群と岩澤函数を結ぶ）これら３本の柱を理解することが，岩澤理論の主目的…

…。この問題に対して，クンマーという数学者は「イデアル」を使って一意性を回復する解決策を編み出しました。数をイデアルまでもっていけば，「素イデアル分解」という形で一意性が復活するのです。一方で，素イデアル分解は「単項イデアル」だけでは実現しません。分解の法則は，単項イデアル以外のイデアルによっても左右されるため，これらがどの程度含まれるかが興味の対象になります。この「単項イデアル以外のイデアルの類がどれだけあるか」という情報を持った群が，イデアル類群なのです。要するに，イデアル…

2017/02/04: こちらの記事の計算に誤りがあることが発覚しました。今は手が離せないので，また後ほど訂正いたします・・・。2017/02/05: 上記の誤りについてですが，たしかに誤りであることが確認できました。どの箇所が誤っているかについて，末尾の「追記」に詳しくまとめました。2022/08/05: 実は、今回の方法でも「57は3で割り切れる」を証明できることに気づきました。気付いたのは2021/03/17だったのですが、ブログに反映させるのが億劫でやっておりませんで…

…ェルマーの最終定理のクンマーによる部分的解法からと言われています。類数を割り切らない素数，正則素数についてのフェルマーの最終定理は，イデアル類群の構造を巧妙につかって解決できるのです。これについては，以下の記事で詳しくまとめています。 tsujimotter.hatenablog.com たとえば，フェルマーの最終定理に関するクンマーの方法では，正則素数に限り「整数解が存在しないこと」を示すことができますが，については，クンマーの方法では示すことができません。 「フェルマーの…

本日は 8 月 9 日ということで，8 と 9 のペアで作られる数学のお話をしましょう。 という数は で３乗数， という数は だから平方数ですね。これらの数の差は なのでが成り立ちます。すなわち，「べき乗数 ひく べき乗数」が１となっているわけです。ここで「このような数の組は，8 と 9 のほかにもあるか？」という疑問が湧いてきますが，そんな数の組は存在しないと主張するのが，今日紹介する「カタラン予想」です。つまり， と の組は，数ある自然数の組の中でも特別な，いわば「黄金ペ…

…ェルマーの最終定理のクンマーによる解法を紹介した記事ですが，肝心なところで今回証明したフェルマーの小定理を用います（ とする）。イデアル類群の位数（類数という）が重要になるのは、この定理のおかげですね。 tsujimotter.hatenablog.com RSA暗号の記事です。キーポイントで「オイラーの定理（今回の定理の系で としたもの）」が出てきます。 tsujimotter.hatenablog.com .supplement { font-size: 80%; col…

…に挙げたエルンスト・クンマーという数学者です。彼が条件として設定した「正則素数」は、イデアル類群を使って以下のように定義されます。 定義（正則素数）：素数 について，円分体 のイデアル類群 の位数 を が割り切らないとき，その を正則素数という． 私が初めてこの話を聞いたときには「 にイデアル類群の位数がどう関係するのか」まったく想像がつきませんでした。「クンマーがイデアルを使って解決した」というエピソードは、よく通俗書に載っているので、話として聞いた方は多いかと思うのです。…

…この問題については，クンマーやデデキントという数学者らがあれこれ考えて，最終的に解決策が出ている。イデアルというものを考えれば「素因数分解の一意性」に似た概念をもたせることができるのだそうだ。イデアルの分解だから「素イデアル分解」と言った方がよいだろうか。 で，これから述べていきたい話は「それはどうやって実現したのか？」という話である。 アイデアのキモは「数の計算はやめにして，イデアルの計算にすべて置き換えてしまおう」というものである。イデアルの説明はあとでするにして，ざっく…

…c. が示せるというクンマーの理論については、前回もご紹介しましたが、a. に関しては b. や c. とは何の関係もないように見えます。「一見無関係な場所に という素数が突然現れるのは、不思議である」というのが前回の記事の主張でした。 ところが、よくよく調べてみると、b. を使って a. が示せる ことが分かりました！！というのが、今回お伝えしたいことです。結局のところ、691の特徴は「ベルヌーイ数の分子に現れる最初の非正則素数」ということなのでしょう。 今回の記事では、b…

…の最終定理」に関するクンマーの理論だと言われています。 エルンスト・クンマー（1810 - 1893）フェルマーの最終定理は以下の定理でした。 フェルマーの最終定理： における方程式には， を満たす整数解 が存在しない。 この方程式（以下、フェルマーの方程式）の解を考えるために、クンマーは以下のような式変形を行いました。右辺を複素数の範囲で「因数分解」すると、次のように書けます。ここで は、で表される複素数です。 さてここで、式 (5) の右辺に のような数が現れていますが、…

…ない「正則素数」という特徴を持っています。正則素数は「フェルマーの最終定理」を解く過程で、エルンスト・クンマーによって導入された数でした。 今回は「ディオファントスの一生」からはじまって、最終的に整数の数遊びになってしまいましたが、数遊びってやっぱり楽しいですね！ ぜひみなさんもやってみてください。思わぬ発見があるかもしれませんよ！ 関連記事 ディリクレの算術級数定理の紹介はこちら。 に関しての定理はこちらで紹介しています。 ディリクレの算術級数定理の証明はこちら NEW!!