最近、多様体に関する勉強をしているのですが「接ベクトル空間」という概念を習得するのに苦労しています。ちょっと抽象的すぎてよくわからないなと思っていたところに、黒木玄さんからの次のツイートが。
#数楽 伝統的なスタイルでは、まず古典的なℝ³内の曲面論についての講義があって、その一般化として多様体論の講義が続く。
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2021年1月28日
曲面のパラメータ表示 (u,v)↦𝐩(u,v) の偏微分作られる接ベクトル達 ∂𝐩(u,v)/∂u, ∂𝐩(u,v)/∂v の𝐩(u,v)を略したものが ∂/∂u, ∂/∂v だと、思うこともできます。
というわけで、 に埋め込まれた2次元曲面( つの変数でパラメータ表示された図形)を考えて、その1点 に接する平面について考えてみましょう。これは多様体そのものではありませんが、実際このような古典的な対象の計算を考えてみることで、多様体の接ベクトル空間がどうしてそのような定義なのか、理解できた気がします!
今回、多様体や多様体の接ベクトル空間の定義は与えませんが、多様体の勉強をしている人はぜひご自身の本の定義と見比べて考えていただければ幸いです。
今回の記事はtsujimotterが勉強中の内容を自分の言葉でまとめてみたものになります。正しさは保証できませんので、その点にご了承ください。間違っているところなどありましたら、勉強になりますのでご指摘いただければと思います。