循環小数問題1/12377の小数点以下6193桁目は何か?(問題編) - tsujimotterのノートブック
1/12377の小数点以下6193桁目は何か?(解答編) - tsujimotterのノートブック第1回:循環小数(1): フェルマーの小定理 - tsujimotterのノートブック
解説編
第2回:循環小数(2): Midyの定理(前編) - tsujimotterのノートブック
第3回:循環小数(3): Midyの定理(後編) - tsujimotterのノートブック
第4回:循環小数(4): 平方剰余の相互法則 - tsujimotterのノートブック
(※ は以下、断りなく 2, 5 以外の素数として扱います。)
本記事は、循環小数問題の解説編として書いています。
今回が、私がもっとも書きたかったことです。この記事のためだけに、今まで (1)から(3)まで書いてきました。
第4回のテーマは
(p-1)/2 の約数となる条件」
その条件とはいったい何なのでしょうか。
先に言ってしまうと、それは次の条件です。
《定理4》
の循環節の長さが
の約数となる必要十分条件は、
を
で割った余りが
のいずれかであることである。
私が最初にこの条件を見たとき、
と疑問に思いました。みなさんもそうでしょう。
でも安心してください。ちゃんと計算によって 40 という数字が出てくるのです。
しかもその計算には、初等整数論で最も美しいとされる定理
が登場します。
期待に胸を膨らませて、《定理4》の証明に進んでいきましょう。
平方剰余との関係
第1回の記事では、次の条件が得られました。
《循環小数が
桁で循環する条件》
これとまったく同様に、《循環節の長さが の約数となる条件》を考えると、次のようになるでしょう。
《循環節の長さが
の約数となる条件》
この左辺に着目します。
すると次の式とよく似ていることがわかります。
《オイラーの基準》
ただし、は平方剰余を表すルジャンドル記号。
を
で置き換えれば、まったく同一ですね。
したがって、《循環節の長さが の約数となる条件》は、平方剰余を使って次のように置き換えることができます。
《循環節の長さが
の約数となる条件(の書き換え)》
の循環節の長さが
の約数となる必要十分条件は
が成り立つことである。
これで最初の問題が「平方剰余」と見事結びつきました!
あとはこの左辺を計算し、平方剰余になる の条件を考えればいいわけです。
ここで 《平方剰余の相互法則》 の登場です!
平方剰余の相互法則
証明はしませんが、今回使う 《平方剰余の相互法則》 をまとめます。
まずは、《平方剰余の定義》から。
《平方剰余の定義》
,
を互いに素な整数とするとき、
が解をもつならば 「
は
で平方剰余である」という。
解を持たないならば、「は
で平方非剰余である」という。
このことをルジャンドル記号を用いて次のように表す。
は
で平方剰余である
は
で平方非剰余である
続いて今回のメインディッシュである 《平方剰余の相互法則》 です。
《平方剰余の相互法則》
,
を相異なる奇素数とするとき
今回は使わないですが、重要な定理である 《第1補充則》 です。
《第1補充則》
を奇素数とするとき
《第2補充則》 は後程つかいます。
《第2補充則》
を奇素数とするとき
最後に 《平方剰余の積に関する法則》 です。
《平方剰余の積に関する法則》
を奇素数、
,
を互いに素な整数とするとき
これだけあれば十分でしょう。
フル活用して計算していきます。
《平方剰余の相互法則》を使って展開
それでは、 を展開していきましょう。
《平方剰余の積に関する法則》から、次式が得られます。
左辺が平方剰余となる条件は、右辺が平方剰余の積となっていることから、
かつ
または
かつ
であることがわかります。
《第2補充則》より
から が平方剰余となる必要十分条件は、
であることがわかります。逆に、非剰余となる条件は、
です。
また については、《平方剰余の相互法則》より、
から、
が得られることを利用します。
この右辺が 1 になることは、定義に戻って考えると、
となるような が存在することと同値です。
ですべてのパターンをチェックすると、
より、平方剰余となる条件は であることがわかります。逆に非剰余になる条件は
です。
したがって、以上より次の関係がいえます。
であることの必要十分条件は、
かつ
または
かつ
あとは、連立合同式を解いていけばいいわけですが、もう数が多くないので で全列挙して考えましょう。

たしかに、1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39 のときだけ、平方剰余・非剰余が一致していることがわかります。
これでついに、念願の条件が得られました。
であることの必要十分条件は、
を
で割った余りが
のいずれかであることである。
翻って、元の命題に戻ると、
《定理4(再掲)》
の循環節の長さが
の約数となる必要十分条件は、
を
で割った余りが
のいずれかであることである。
が証明されたことになります。
1/12377 の 6193 桁目を計算しよう
ここで、最初の問題に立ち戻って考えてみましょう。
問題は
ということでした。
を
で割った余りを考えて、
より、
であることの必要十分条件は、
を
で割った余りが
のいずれかであることである。
から、
したがって、
ここで、
《定理3(第3回の記事より)》
の 循環節の長さを
、小数点以下
桁目を
とすると、
(中略)2.
が
の約数でないとき
![]()
から は、
を使って次のように計算できます。
一方 の循環節の前半は、
ですから です。
よって より求める解が得られました。
まとめ
ここまで、長いこと説明してきましたが、いかがだったでしょうか。
「たかが循環小数」と思っていた方も、意外な奥深さに驚いたのではないでしょうか。
結論を言うと、循環節に関する下記の条件は、
《
の循環節の長さが
の約数となる条件》
次のように、平方剰余の定義そのものと対応していたわけです。
《
の循環節の長さが
の約数となる条件(の言い換え)》
美しい対応関係ですね。
また、
を
で割った余りが
のいずれかであることである。
という意味不明だった条件も、平方剰余と結びついて理由を付けることができました。
というよくわからない数字は、
と
の連立合同式からきていたのですね。
そしてその と
は、小数の基数である
が
と因数分解できることから生まれた条件だったわけです。
以上を持って循環小数の長い長い解説編は終わりです。
ここまで読んでくださってありがとうございます。
一見すると整数論とまったく関係ないように思える 《循環小数》 を整数論の代表格である 《平方剰余の相互法則》 で解決するという流れは、なかなか味があってよいのではないかと思っています。
循環小数の奥深さ・面白さを垣間見て私が味わった感動を、これらの記事を通して少しでも感じてもらえたら幸いです。
参考文献
平方剰余の相互法則については例によって、次の本の第一章を参照するとよいかと思います。

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