tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

フェルマーの小定理 の検索結果:

f(x) = 2x + 1 を mod 5 で繰り返し合成させるとどうなるか?

…みようと思います。 フェルマーの小定理っぽい? まずは、具体的に計算していきましょう。以下すべて有限体 上で考えます。4行目あたりで「おっ」って思いますよね。結果だけまとめるとこれが繰り返されます。4回合成するごとに、 となっていることが観察できます。つまり、(恒等写像)が成り立つということです。 この現象はさながら フェルマーの小定理 のようです。フェルマーの小定理とは、 を素数として に対して が成り立つというものでした。状況はそっくりですね。しかも、今回は 上の多項式を…

タイヒミュラー指標 (1)

…乗法群なので、群論のフェルマーの小定理により、 に対して が成り立ちます。したがって が言えました。両辺に をかけると が成り立ちます。よって、左辺と右辺の差 は で(少なくとも) 回割れるとわかるので が言えます。よって、式 が成り立ち、 が のコーシー列であることが示せました。(証明終わり) 少し長かったですが、これにて が の元に収束することが示せました。これで問題は半分くらい解決です。 を示す これまでの議論で は示せました。最後に を示して終わりましょう。 を考察し…

合同ゼータ関数のリーマン予想

…義されます。有限体のフェルマーの小定理を考えると、これは明らかに の元を固定することがわかります。フロベニウス作用素は、このフロベニウス自己同型を、そのまま曲線 の座標に適用させる作用素で、 と表します。 フロベニウス作用素 は絶対ガロア群 の生成元になっていることから、 の作用を考えれば、 の作用がすべてわかることになります。先ほどのロジックで、 の代わりに、コホモロジー を考え、 に対する の作用、すなわち行列を考えている、というのがこの式の意味するところです。 長かった…

クンマー理論

… のことです。群論のフェルマーの小定理より,群 の任意の元は 乗すると単位元になりますが,位数と指数は一致するとは限りません。 tsujimotter.hatenablog.comたとえば, は指数 ですが, も指数 です。この場合は,位数は になりますね。以上より, が定まるとそれに呼応して という指数 のアーベル拡大が定まります。また,逆に指数 のアーベル拡大 があったとすると, として が得られます。 は「 の 乗数」かつ「 の数」であるような数です。 は の元を含みま…

29 の倍数判定法

…は,倍数の判定なら「フェルマーの小定理」だろう,と思ってそればかり考えていたのですが・・・。中途半端な知識は,人を頭でっかちにさせることもあるのですね。気をつけないと。フェルマーの小定理といえば「循環小数」関連の話題も面白いです。よかったらこちらもご覧になってください。 tsujimotter.hatenablog.com 最後に,もう一つ重要な事実を指摘しておきたいと思います。この判定法を教えてくれた方は「s(数学)k(くそほど)d(できない) 」というスクリーンネームの方…

8 と 9 の黄金ペア:カタラン予想

…す素数 のことです。フェルマーの小定理により,mod において と互いに素な に対しが成り立ちますので,さらに のときを考えたものがヴィーフェリッヒ素数といえます。mod を考えると,mod を考えたくなるのは,数論においてはよくあることなのだそうです。 ヴィーフェリッヒ素数は,フェルマーの最終定理に関連していることでもよく知られていますね。 integers.hatenablog.com ヴィーフェリッヒ素数が,カタラン予想にどうつながるのかを,エッセンスだけお伝えしましょ…

巷で話題のカーマイケル数・カーマイケルの定理について

…回投稿したばかりの「フェルマーの小定理」と非常に縁が深いのです。これはよいタイミングだなと思いましたので、今回はカーマイケル数についてご紹介したいと思います。 フェルマーの小定理,オイラーの定理(復習) まず、フェルマーの小定理の復習です。フェルマーの小定理といっても、前回ご紹介した群論的な方です。 tsujimotter.hatenablog.com (群論的な)フェルマーの小定理 を(有限の要素をもつ)群としたとき, に対して,以下が成り立つ.ただし, は の単位元. 任…

群論におけるフェルマーの小定理

…りの記事のテーマは「フェルマーの小定理」です。フェルマーの小定理と言っても、よく知られるような数論的なものではなく、群論的 なフェルマーの小定理の類似物です。実は、フェルマーの小定理は群論的にも考えることができるんです。しかも、その証明の方法が巧妙で面白い。 今回の記事は、群論をちょっとだけかじったことがある、少し前の私のような人を想定した記事です。知らない人にはちょっと難しいかもしれませんが、雰囲気だけ追ってもらって、数学的な発想の面白さを共感してもらえたら嬉しいです。 な…

素イデアル分解法則を考える(ヒルベルトの理論とフロベニウス自己同型)

… とおきます。群論のフェルマーの小定理より,両辺に をかけて,が成り立ちます。したがって の元は によって不変です。また, は明らかに不変なので, が を固定することがわかりました。 話を代数体に戻すと, によって と が同型です。したがって, もによって生成される巡回群になります。 いやぁ,すごいですね! 群の対応関係のイメージはこのような感じでしょうか。 ここから不分岐に限定した話をします。不分岐の場合は がつぶれるので,に対応する の元がただ1つ定まります。この元ただ1…

原始根の数のかぞえかた

…に注意してください。フェルマーの小定理より,が成り立ち,以降は同じ数が繰り返し現れるためです。 少し用語を整理しておきましょう。 を整数としたとき, における同値類を剰余類と呼び,その集合を と表記します。また のうち, と互いに素である剰余類を既約剰余類といい,その集合を と書きます。 が素数のとき, には を除く より小さいすべての元に対応した剰余類が入ります。また, は乗法について群をなすことが知られています。したがって,これを 既約剰余類群ともいいます。一方, は加法…

FLTとクンマーとイデアル類群

…。これは群論におけるフェルマーの小定理です。つまり、 における の属する類を とすると、以下が成り立ちます。 の単位元は、単項イデアルの属する類 ですね。 一方 式より、 は単項イデアルです。したがって、となるでしょう。 さぁここで、 が正則素数 なら、すなわち が を割り切らないのであれば、 と は互いに素 です。互いに素な2整数に対しては、ユークリッドの互除法より、となるような整数 が存在します。よって、が成り立ちます。 を 式に代入することにより、が得られます。すなわち…

「3の100乗を19で割ったあまりは?」を4通りの方法で計算する

…★☆☆☆) 方法3:フェルマーの小定理を使う(難易度:★★★☆☆) 方法4:平方剰余の相互法則を使う(難易度:★★★★★) 単に解法を紹介するだけでなく、問題へのアプローチを通して、tsujimotter が思う整数論の魅力も併せてお伝えできればと思っています。 書き終わった今改めて読み返してみると、書きたいことがあまりにも多すぎて、文章がとてつもなく長くなっています。このへんは反省しないといけませんね。 とはいえ、どれも伝えたいことですし、できるだけわかりやすく丁寧に書いた…

「第2回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg 」で整数論の話をしてきました

…類環」の中で起きる「フェルマーの小定理」「原始根定理」「オイラーの基準」「平方剰余の相互法則」といった一見小難しい定理群を、「時計の世界」という言葉を一貫して使って平易に解説することを目指した発表になっています。実は、上の文面は、佐野さんのレポートのほぼ丸写しなのですが、改めて考えると上のように集約されるような内容の話をしていたのです。他の人にレポートをまとめてもらうと、気づかされることが多いので面白いですね。あと、今回は新しい試みとして「配布資料」を作りました。スライド内の…

オイラー関数についての補足

…が素数であるときは、フェルマーの小定理と関連しますから、この結果は非常に重要です。 が2つの素数の積で表される数のとき さて、最後です。 が という2つの素数の積で表される数のときを考えましょう。すなわち、この状況は、RSA 暗号で重要な役割を果たしましたね。 さて、先ほどと同様に より小さい数を考えると、それは の 個です。 ここで、 より、上で挙げた数が素因数 と を約数に持つかを考えます。 を素因数に持たない数が、私たちが求める と互いに素な数です。 イメージしやすいよ…

RSA 暗号がようやく分かった気がしたのでまとめてみる

…ログでよく登場する「フェルマーの小定理」の拡張版になっています。もし、 が素数 であれば、そのオイラー関数は より、 が成り立つわけです。 「オイラーの定理」については、tsujimotter の旧ブログのこちらの記事も参考になります: オイラーの定理を導くまで さてここで、オイラーの定理の式 (4) の に を代入した後、さらに両辺を 乗します。ただし は整数です。この式の両辺に をかけましょう。するとどうでしょう。式 (3') と全く同じ形になりましたね。同じ式の形になっ…

美しい反例

…るからである. 次にフェルマーの小定理より, であるから,先ほどの位数 は を割り切る. ところで, のときには,フェルマー数は素数となるから,この証明では を考えてよい.したがって, は を割り切る.よって,上の結論とあわせて, は を割り切る.すなわち, である. 平方剰余の第二補充則より, であれば, は法 の平方剰余である.したがって,平方剰余におけるオイラーの基準により,である. 結局,(3) により, の位数 は を割り切ることがわかった.すなわち,双方 2 倍し…

循環小数(1): フェルマーの小定理

…:循環小数(1): フェルマーの小定理 - tsujimotterのノートブック 第2回:循環小数(2): Midyの定理(前編) - tsujimotterのノートブック 第3回:循環小数(3): Midyの定理(後編) - tsujimotterのノートブック 第4回:循環小数(4): 平方剰余の相互法則 - tsujimotterのノートブック 本記事は、循環小数問題の解説編として書いています。 解説編の第1回では 循環小数は (p-1) 桁で循環する という基本的な事…