こんにちは、日曜数学者のtsujimotterです。今日は ヴェイユ予想 と呼ばれる大定理を紹介します。 ヴェイユ予想は、一見すると抽象的な代数幾何の定理ですが、その出発点は「mod p での解の個数」という素朴な問いです。 ところが答えを追ううちに、複素数上…

お久しぶりです。 今日のテーマは、平方剰余の相互法則の証明についてです。平方剰余の相互法則を最初に証明したのはガウスです。 彼はこの定理を「黄金定理」と呼ぶほど大切にしており、生前に6つ、没後に発表されたものも含めて7つの異なる証明を与えまし…

シュリニバーサ・ラマヌジャンといえば、インドの魔術師の異名を取る数学者で、魔術的な数式をたくさん発見していることで知られています。ラマヌジャンは円周率 についても多様な式を発見しています。その発見の一つとしてという近似式をご存知の方は多いと…

今回は「循環小数」の奥深い世界にご招待します。これまでtsujimotterのノートブックでも何度か取り上げてきたテーマですが、循環小数は一見高校生にも馴染みのある素朴な存在です。しかし、その背後には大学数学の群論という、抽象でありながらも美しい理論…

早速ですが、前回書いた記事の続きです。 前回は「 の下２桁はいくつか」という問題を考えました。 tsujimotter.hatenablog.com この問題は「 における 」を計算すればよく、さまざまなアプローチによりと計算できるのでした。 ところで、この という数は 自…

お久しぶりです。tsujimotterです。今日考えたいテーマは、横山明日希さんのこちらの問題です：文字数が少ない問題作りました。ちょっとだけ工夫して解ける問題ですが、地道に計算してもよいかもしれません。 pic.twitter.com/CYh0ZZ7O43— 横山 明日希 (@asu…

本記事は日曜数学 Advent Calendar 2024の1日目の記事です。 ご無沙汰しています。日曜数学者のtsujimotterです。2024年も日曜数学アドベントカレンダーを立ち上げまして、今日の記事はその1日目の記事となります。 adventar.org明日話したくなる数学豆知識 …

本記事は2012年5月10日に、当時のtsujimotterが骨折で入院中に暇を持て余して執筆し、旧ブログで公開していた記事の再掲です。 久しぶりに読んで面白かったのと、旧ブログは将来無くなる可能性があることから、tsujimotterのノートブックにも載せておこう思…

本記事は日曜数学 Advent Calendar 2023の1日目の記事です。 ご無沙汰しています。日曜数学者のtsujimotterです。2022年12月に子どもが生まれまして、そこからブログや動画の投稿が滞っていたのですが、アドベントカレンダーの季節ということで久しぶりに復…

日曜数学 Advent Calendar 2022 の最終日の記事です。 メリークリスマス！！毎年恒例の日曜数学Advent Calendarは、2022年も実施することとなりまして、こちらの記事はその最終日の記事です。 adventar.orgおかげさまで、（初日を除いて*1）毎日記事が埋まり…

こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。www.youtube.comよろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください！フェルマーの最終定理の のケースに自然数解が存在しないことは、オイラーによって証明され…

今日は、次の等式についてです。こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。www.youtube.comよろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください！ この式だけ見せられても「ほぉ、なるほど。足したものを2乗…

超プーレ数 があったとき、その約数 は定義より 超プーレ数・素数・1 のいずれかです。超プーレ数に対してその約数が多ければ多いほど、多くの超プーレ数を内部に持つことになります。今回は「約数をできるだけ多く持つような超プーレ数」を考えたいと思いま…

前回に引き続き「超プーレ数」の話題です。今朝投稿されたばかりの次のYouTube動画に関する話題について、ブログでもより深く解説してみたいと思います。www.youtube.com 前回紹介したときに現れた超プーレ数の例はのように、平方因子を持たないものばかりで…

明日話したくなる「数」のお話シリーズの最新動画で 超プーレ数 という概念を紹介しました。www.youtube.com 動画内でいくつか定理を紹介しましたが、証明までは説明しませんでした。このブログ記事では動画の補足情報として、動画で紹介できなかった証明部…

素数の一覧表を作るときに、一個一個の数を素数かどうか判定していくのもよいですが、もう少し効率的に行う方法があります。その方法の一つが エラトステネスの篩（ふるい） です。 エラトステネスの篩は、情報系の大学生であればプログラミングの演習等で一…

今朝投稿されたYouTube動画 youtu.beにて、（ は素数）の形の数がトーシェントである条件が、ソフィー・ジェルマン素数に関係するという非常に興味深い定理を紹介しました。定理 を素数とすると，次が成り立つ： がトーシェント はソフィー・ジェルマン素数…

最近、タイムラインでという話をよくみかけます。とても面白い現象ですね。 この問題については、id:egory_cat さんのブログにて、一般の 進法に対して証明が与えられています。 egory-cat.hatenablog.com ブログを拝見させていただきましたが、とても面白か…

みなさん明けましておめでとうございます！年が明けたということで、みなさん今年の干支はご存知ですか？ そうです壬寅（みずのえとら） ですね！！ 「え、寅年でしょ？」と思った方。もちろんそれで正解なんですが、少しだけ話を聞いてください。実は、干支…

今回の記事では、数学者の名前がついた素数 について紹介したいと思います。名前を紹介するだけではなく、その由来となった数学的背景を簡単に紹介する記事になっています。素数は のように数がただ並んでいるだけに思われるかもしれません。しかしながら、2…

突然ですが、100の階乗を101で割ったあまり を考えてみましょう。実際、計算しようと思うと大変ですがとなります。これを で割ったあまりは、ちょうど になります。ほかにも、 はであり、これを で割ったあまりは となります。 実はこれ、一般に成り立つ話な…

あけましておめでとうございます！今年も楽しく日曜数学して、その様子を発信していきたいと思いますので、どうぞよろしくお願いします！ ぜひ一緒に日曜数学しましょう！ 2022年最初の記事では2022を素因数分解してみたいと思います！ もちろん、素数チェッ…

日曜数学 Advent Calendar 2021 の最終日の記事です。 今日は日曜数学 Advent Calendar 2021 の 最終日 の記事です。そんなわけで、12月1日から始まった日曜数学アドベントカレンダーも、今日で終わりです！おかげさまで、なんと25日間すべての記事が埋まり…

日曜数学 Advent Calendar 2021 の17日目の記事です。 今日はという数について考えたいと思います。この数、桁数が 44桁 もある巨大な数なのですが、なんと 素数 であることが分かっています。1951年に素数であることが証明されたのですが、面白いことに電子…

今日のテーマは フィボナッチ数 です。またかと思われるかもしれませんが、最近たしかにフィボナッチ数の話が多いですね。 今日の切り口は、フィボナッチ数の逆数和 です。特に、奇数番目のフィボナッチ数の逆数和について考えたいと思います。 式 の和を100…

日曜数学 Advent Calendar 2021 の2日目の記事です。 昨日の記事の 後編 として、小数展開に色々な数列が登場するような分数を生み出していきたいと思います！ さてここで問題です！以下の４つの分数は、それぞれどんな数列が出てくる分数でしょうか？ （答…

日曜数学 Advent Calendar 2021 の1日目の記事です。 アドベントカレンダーの季節がやってまいりました。今年も日曜数学アドベントカレンダーを立てまして、この記事はその1日目の記事となっています。 adventar.org日曜数学アドベントカレンダーは、今年で …

これまでtsujimotterのノートブックでは、循環小数についていろいろな話題を紹介してきました。今日はとっておきのトピックとしてアルティン予想 という 未解決問題 について紹介したいと思います。これまでの記事はこちらから見ることができます： tsujimot…

循環小数熱が再燃してきまして、いろいろ調べている中で面白い話を見つけました。かの有名な天才数学者ガウスは、こんなやり方で循環小数を計算していたそうです。今回の記事の出典は、参考文献に挙げた「近世数学史談」です。 たとえば、 という数を循環小…

今日はのような 「素数のべき乗分の１」の形の循環小数 について考えたいと思います。 実際、上記の小数を計算してみるととなり、 は 42桁、 は 294桁 と、たいへん長い循環節を持つことがわかります。これは後で見るように周囲の循環小数と比べてもかなり長…