整数論
日曜数学 Advent Calendar 2017 の 25 日目（最終日！）の記事です。 数学大好き皆様こんにちは。今日は、日曜数学アドベンター2017 最終日です！2017 年最後ということで 2017 に関するお話です。 を のような奇数の素数を考えたとき「 なる整数 を具体的に…
突然ですが、眠くて眠くてしょうがないときってありますよね。スマホを開くことができれば、いろいろと目をさますコンテンツにアクセスすることができます。しかしながら、スマホを開くことができないときもありますよね*1。ここには紙とペンしかない。眠気…
本日アップロードしたばかりのこちらの記事 tsujimotter.hatenablog.comではを計算する効率的な方法がわからない、と書いていました。先ほど nishimura さんという方に*1効率的な方法を教えていただきましたので、その方法を補足したいと思います。「オイラ…
この記事は 数学とコンピュータ Advent Calendar 2017 の 7 日目の記事です。 数学好きなITエンジニアの皆様こんにちは。日曜数学者を名乗り、趣味で数学を学んでいるtsujimotterと申します。本業では情報系の研究者をしていて、日頃プログラミングには親し…
ハッピーフィボナッチ！今日は 11/23 で，フィボナッチ数の最初の４項 1, 1, 2, 3 が並ぶ日です。そのため，11/23 はフィボナッチの日と呼ばれ，親しまれているようです。フィボナッチ数列は，という漸化式で定義された非常に有名な数列です。「 の一般項を…
「ヒルベルトの定理90」という有名な定理があります。定理の名称は，ヒルベルトの有名な報文（Zahlbericht）での定理番号から今日はこの定理について紹介します。定理：ヒルベルトの定理90 を有限次ガロア拡大としたとき，が成り立つ。
クンマー拡大についての記事を準備しているうちに，いくぶん理解が進んできました。 tsujimotter.hatenablog.com今日は，本題の「クロネッカー・ウェーバーの定理」から離れて「クンマー理論」について紹介します。クンマー理論については，しばらく前からず…
今日は「クンマー・ペアリング」についてのお話です。以下のシリーズの続きです。 tsujimotter.hatenablog.com
ご無沙汰しています。tsujimotterです。久しぶりに「クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ」シリーズの続きを書きたいと思います。 tsujimotter.hatenablog.com今日の主役は クンマー拡大 です。クンマー拡大とは，「巡回拡大」が「ベキ根の添加…
今日は，私の大好きな数式から話を始めたいと思います。
今日考えたい問題は という二次形式で書ける素数の法則です。実際，という法則が知られており， の素イデアル分解によって説明できます。これについて，以前の記事でまとめたことがありました。 tsujimotter.hatenablog.com一方で，上の記事では「たまたまそ…
4 で割って 1 あまる素数は，すべて２つの平方数の和でかけるという事実は，非常に有名なのでご存知の方も多いかと思います。私のブログでもたびたび取り上げてきました。フェルマーが発見したので，フェルマーの二平方定理（あるいは，二平方和の定理）とい…
前回に引き続き類体論に関するお話です。続きものなので，ぜひ以下の記事を読んでからきてください。 tsujimotter.hatenablog.com tsujimotter.hatenablog.com今日の主役は 二次体 です。二次体とは，平方因子を持たない に対して の形で与えられる の二次拡…
tsujimotter.hatenablog.com 以上の記事では，整数論にガロア理論を適用させ，素イデアルの分解法則を見出す「ヒルベルトの理論」の枠組みを紹介し，その系として円分体の分解法則を導きました。上の記事から半年以上経っているので，円分体の類体論を復習し…
しばらく類体論周辺の話を書きたいと思っています。今日は後の記事のための補助的な内容を書きたいと思います。今日のテーマは円分体の分岐についての定理。
こんにちは。最近数学をする時間がとれなくてもやっとしているtsujimotterです*1。ちょっとした気晴らしに小ネタを書きたいと思います。 *1:「数学する時間がとれない」というより「数学はしているけど，ブログを書いている暇がない」かもしれません。今，書…
本日は 8 月 9 日ということで，8 と 9 のペアで作られる数学のお話をしましょう。 という数は で３乗数， という数は だから平方数ですね。これらの数の差は なのでが成り立ちます。すなわち，「べき乗数 ひく べき乗数」が１となっているわけです。ここで…
最近こんなニュースが話題になっているようです。中国人の一般男性が「カーマイケル数」を導出する方法を再発見した、とのこと。 news.livedoor.com一部引用すると 河南省の青年・余建春さんは短大卒でここ数年は、アルバイトで生計を立てている。そんな余さ…
ご無沙汰しております。約３ヶ月ぶりの投稿です。４月より職場がかわったのですが、仕事に慣れるまでに期間がかかってしまい、ブログの更新が滞っておりました。その間も日曜数学は楽しく続けておりましたので、少しずつブログの方でも公開していけたらと思…
以前、 という素数に関する以下の記事を書いたのを覚えていますか。 tsujimotter.hatenablog.com この問題について、twitter で以下のような投稿をしたのです。【29】「x^4+y^4+z^4 は x=y=z=p を除いて p で割り切れない」を満たす素数 p は 5, 29 だけ…ら…
腹痛のためベッドの中で引きこもっていたら、4n+1型, 4n+3型の素数をそれぞれ列挙し合う新しいゲーム「フェルマーゲーム」が生まれました！腹痛もたまには良いことしますね。笑 ゲームのルールは、にせいさんがブログでまとめてくれました。nisei.hatenablog…
今日は私がまさに今現在勉強している「素イデアルの分解法則」についてお話ししたいと思います。素イデアルの分解については，これまでの記事でも「フェルマーの二平方定理」やその関連する法則について触れてきましたので，ずっと興味はあったのです。しか…
前回 は「素数ばかり生成される多項式」についてお話ししました。今回は「素数を無限に生成できる（かもしれない？）多項式」についてのお話です。それでは、まず以下の問題について考えてみてください。あなたは即答できるでしょうか。 とかける素数 は無限…
今日はオイラーが発見した， という多項式についてお話したいと思います。 ある特別な に対して，多項式の に整数 を入れていくと，「素数」が次から次へとたくさん出てくるのです。まるで 「魔法の多項式」 です。これだけでも十分面白いのですが，なんとこ…
少し前に、私の周囲で「"" 型素数が無限に存在することを初等的に証明できるか？」という議論が流行っていました。私が追っていた限りにおいては、ちょっとずつ穴があって証明は叶わなかったようです。私は、てっきりこの手の問題、すなわち 型素数の無限性…
１つ前の記事で「合同数」の話が出たので，合同数についてのもう一つの話題を。 復習しておくと，合同数とは「すべての辺の長さが有理数であるような直角三角形の面積になる数」のことです。図で表すとわかりやすいですね。
面白い問題を見つけたので紹介します！「エドゥアール・リュカ」という名前を聞いたことがあるでしょうか。リュカ数列や，メルセンヌ素数の「リュカ・レーマーテスト」で有名なあの「リュカ」です。 彼は数学にまつわるパズルのような問題をたくさん紹介した…
以前、第２回プログラマのための勉強会 というところで「時計の世界の整数論」という発表をしました。「時計の世界の整数論」は， が素数のときの 上での整数論についてまとめたものです。その中で以下の定理がありました。 図は， として におけるべき乗を…
2016年が始まりました。日曜数学者の tsujimotter は、今年も楽しく数学をしていきたいと思っています。どうぞよろしくおつきあいください。 というわけで、新年一発目の数学の話を。今日の目標は、以下の命題の一般的な証明方法についての解説です。 命題：…
この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2015 の 8日目の記事です。（7日目：京大特色入試, コインの問題を解く | kinebuchitomo） ニコニコ動画の「数学」タグを検索するのが日課の日曜数学者 tsujimotter です。「数学」で検索すると、本当にいろいろな動画…
