…ablog.com 類体論によれば、 のガロア群がアーベル群であれば、完全分解する素イデアルの法則を分かりやすく表すことができます。当然、巡回拡大であるクンマー拡大も同様です。 実際、素数 について、 を に持ち上げたときの分解法則は、次のように表されるそうです： が で完全分解 ① かつ ② が解をもつなんと、先ほどの原始根にならない条件①②がそのまま出てくるのです。面白いですね！ 完全分解する法則が上記のようになることについて、実は私自身は証明したわけではありません。今回…

…けです。 ところで「類体論」によると、素数 が で分解するかどうかが「」によって表されるのは、 がアーベル拡大のときに限られるのでした。アーベル拡大ではない場合は、類体論によっては法則を見いだすことが原理的にできないのです。残念ながら、今回の はアーベル拡大ではないガロア拡大であり、どうしたものかというわけです。 こんなときに使えるのが モジュラー形式 です。次のような、モジュラー形式を考えます：この はこれまで扱ってきたようなフルモジュラーなモジュラー形式ではないことに注意…

…の記事で「類体」と「類体論」についての雰囲気を感じていただけると、今回の内容をよりよく理解できると思います。 tsujimotter.hatenablog.com 上の記事で説明したことを、かいつまんでまとめるとこういうことです。 まず土台となる舞台として有理数体 を考えます。そして、有理数体の素数 を考えます。 （正確にいうと の整数環 の素数を考えるということです。）素数 は、定義より有理数体（の整数環）の中ではこれ以上分解できません。しかしながら、 より大きな体 に持ち…

…されるのかを調べた「類体論」や、特定の拡大を考えたときに類数がどのように増えていくのかを調べた「岩澤理論」など、非常に魅力的な理論を生み出したのも代数的整数論です。その意味でクンマーの創始した理論は、現代数学に計り知れない影響を与えるものとなっています。 6. おわりに 最後に、今日の話をまとめたいと思います。覚えていただきたいのは「23」という数の次の特徴です： を3以上の素数としたとき、 次円分体 の 類数 が より大きくなる最小の は である最初に意味不明だった呪文のよ…

…の記事です。 先日、類体論の入門記事を公開しましたが、多くの方に読んでいただいて嬉しいです。 tsujimotter.hatenablog.com類体論の記事を書いたことによって頭の中が整理されて、類体論の本が読めるようになってきました。これがとても嬉しく思っています。そんな経緯で類体論の 基本不等式 を理解できたのですが、今回はこれについて紹介したいと思います。実はこの基本不等式は類体論の理論の中で証明される非常に重要な定理なのですが、これが 解析的に証明される のです。そ…

…日目の記事です。 「類体論」という名前を聞いたことがあるでしょうか？類体論は、高木貞治という日本の数学者が提唱した理論です。実は今年2020年は類体論が提唱されてからちょうど 100周年 だそうです。『類体論における主要な定理の一つ「高木の存在定理」が発表されたのが1920年の国際数学者会議なのだそうです。 』と書いていたのですが、同1920年には類体論に関してまとめた論文を、東京大学の理学部紀要にて発表しているそうです。（せきゅーんさんよりご指摘いただきました。）後者の論文…

… 円とのアナロジー 類体論の復習 j不変量とヒルベルト類体 クロネッカーの青春の夢 導手 (2) のray類体の計算 導手 (3) のray類体の計算 おわりに 参考文献 円とのアナロジー 楕円曲線と数論の関係がみえてきたところで、ここで一旦話を変えて、「みなさんがよく知っている曲線」と「数論」との関係について述べたいと思います。高校数学の頃から慣れ親しんだ 円 について考えてみましょう。上の図は、複素数平面上で単位円を描いたものです。ここで単位円を 等分 する点を考えてみま…

…法論は ガロア理論・類体論・楕円曲線論 を前提とした高度な理論なので、一般論を展開していくと難しくなりがちです。難しい話は読者を選ぶのも事実です。けれども、やっぱり理論の内容は面白いので、もっと多くの人に知ってもらいたい。その面白さ・美しさを伝えられるようになりたい。その意味でも、具体例があった方が読んでもらいやすいはずだと思いました。 今回の記事は、以下のような構成で進めたいと思います。コンピュータの手を借りて 具体例 を計算しつつ、虚数乗法論のある意味「花形」の一つである…

…「円分体の理論」や「類体論」が背景にある証明となっています。第Ⅳ証明は、ある意味でガウス以降の整数論の方向性を決めた、大変示唆的な証明となっています。整数論の歴史を追いかけるという意味でも、一度は理解したい証明です。それではいってみましょう！ 平方剰余の相互法則とは まずは、証明すべき主張の確認から。平方剰余の相互法則 を相異なる奇素数とし、 とおく。このときが成り立つ。平方剰余の記号（ルジャンドル記号といいます）において、 の役割が（アスタリスクの記号を除けば）ちょうどぴっ…

…示したいと思います。類体論より、 を1の原始 乗根としてなる同型があることに着目します。ここで の任意の元 に対して、 を に制限します。するとなる の自己同型が得られます。よってなる合成写像が定まります。これを としましょう。（最後に逆数をとる写像を入れている理由はあとでわかります。）すると、 は連続準同型となり、これは としたときの、1次元アルティン表現となります。 さて、ここでフロべニウスの行き先を考えます。幾何的フロべニウス は 内で "up to " でしか定まりま…

…イデアル分解法則は、類体論等の理論により、よく知られています。ここでは、その帰結だけ紹介しましょう。円分体の素イデアル分解法則（の一部） を奇数の素数とし， を なる素数とする．このとき，以下の同値が成り立つ： が で完全分解する（ が で 個の相異なる多項式の積に分解する） が で完全分解する 特に最後の条件 は非常にわかりやすい条件になっていますね。 とすると、式 のケースが、この条件を満たしていることを確認できますね。 さて、レピュニットの話に戻しましょう。 のとき、上…

…と，次が成り立つ：「類体論講義（参考文献）」の定理5.1.7に証明が載っていますが、難しいので今回は扱いません。 上の定理より、 次不分岐巡回拡大 においてが成り立ちます。よって、 と合わせるとが言えるので、 の 個以上のイデアル類に属する任意のイデアルが において単項化することが示せました。（証明終わり） おわりに 今回は、単項化定理に関する「ヒルベルトの定理94」の証明を紹介しました。ヒルベルトの定理94とは、 が不分岐巡回拡大のとき のイデアル類のうち 個以上が単項化す…

…分岐アーベル拡大は、類体論の記事 でも述べましたが「ヒルベルト類体」と呼ばれるray類体です。 上の不分岐なアーベル拡大はすべてこの中に含まれてしまうという性質を持った拡大体です。ヒルベルト類体は、類体論において抽象的に定義されますが、実はこれが に -不変量 を添加することによって構成できてしまうという、驚くべき定理です。 ちなみに、-不変量はtsujimotterのブログでも度々登場するお気に入り概念です。たとえば、ラマヌジャンの定数という「ほとんど整数」の記事でも現れま…

今日は 類体論 のステートメント（主張）を述べて、その簡単な解説をしたいと思います。類体論のステートメントは、大きく２種類あって、 合同イデアル群を用いたもの イデール群を用いたもの があります。また、今回は単に「類体論」と言っていますが、 大域類体論 局所類体論 の２種類があります。代数体に対する類体論が大域類体論で、局所体に対する類体論が局所類体論です。今日は、合同イデアル群 を用いた 大域類体論 のお話をします。つまり、代数体についての理論です。イデール群を使った類体論…

…分岐拡大が作れる） 類体論から、イデアル類群の非自明性が得られる 上は覚えている範囲で、だいぶいい加減にかいています（あとで直すかも）。まだあまり理解できていません。。。太字で書きましたが、ガロア表現というキーワードがたくさん出てきます。そのため、ガロア表現の基本的なところを押さえないと、きっと理解できないだろうと思いました。こんな経緯で、ガロア表現について勉強しています。 ガロア表現の勉強 証明に必要な内容の基礎を押さえた文献を知らないので、ひとまず落合先生の本（いつもの）…

…ておきます。ここで、類体論を知っている人は、 がアーベル拡大であれば、与えられた が分解するかどうかは「 型の素数は で完全分解する（惰性する・分岐する）」のように法則化されることを知っています。一方で、この法則だけでは、具体的にどのような素イデアルに分解されるかわかりません。どうやって、計算すればよいのでしょう。 遊び方 ここでは、 に を添加した代数体 を考えて、有理素数 の における素イデアル分解を求めたいと思います。使うのは の（ 上の）最小多項式 です。最小多項式と…

…ょうどその頃、私は「類体論」という理論に興味を持ち始めました。この分野に関心を持ったきっかけはいろいろありますが*2、最も影響が大きかったのは、加藤和也先生の「数論への招待」という本です。数論への招待については、少し長い注釈にて説明します *3。この本を読んで「数学にはなんて面白い世界があるのだろう」と感動したのです。ぜひとも理解して、この感動を自分の言葉で伝えたいと思うようになりました。このテーマでの発表は、まさに素数に関する話でもあるし、素数の魅力の多面性を示すよいテーマ…

…群に対応する群です。類体論からとかける（ は「最大不分岐アーベルpro-拡大」）ので，右辺の逆極限をとって が定義されるのでした。一方， では「 の外不分岐な最大アーベルpro-拡大 」を考えます。「 の外不分岐」とは， の上にある 上の素点では分岐は許すが，それ以外の素点では不分岐であるような拡大のことです。このような拡大の中で最大のものを考えます。最大不分岐拡大の類似と思ってもらえればオーケーです。そして，この拡大は不分岐アーベルpro-拡大よりも大きくなります。このよう…

…rt.pdf[4] 類体論講義 (日評数学選書)作者:恒雄, 足立,克哉, 三宅発売日: 1998/09/01メディア: 単行本以下は，ガロアコホモロジーの長完全列の箇所についてだけ，一瞬参照しました（ほぼ読んでません）。 [5] Galois Cohomology (Springer Monographs in Mathematics)作者:Serre, Jean-Pierre発売日: 2001/11/28メディア: ハードカバー 群コホモロジーについての参考ページ d.h…

…論」のの式や「不分岐類体論」のを思い出しました。まだ，明確に言語化できませんが，これらの間には深いところでつながっている気がします。以上の議論は抽象的で掴みづらいかと思います（私がよくわからなかった）ので，いくつか具体例を作って理解していくことにしましょう。 例１： まずは基本的な例から考えましょう。前回考えたものと同様のケースとして とします。 は，ちょうど 乗して 乗数となる の元と仮定します。記号の意味ですが， は により生成される群を表します。なので， は「 とかける…

…は自然に -加群で，類体論より LEMMA 1 を使うと次が言えるらしい．LEMMA 2 は に含まれる． これで楕円単数のすみか が，さらに の中に含まれることがわかりました． 円単数 のコールマン写像 のアナロジーとして，楕円単数 とコールマン写像の類似物 を考えます．円単数と楕円単数には，以下のような対応物があります： 円単数楕円単数 円の-等分点 楕円曲線の-等分点 円単数 楕円単数 ゼータ関数（L関数） 楕円曲線のL関数 の代わりに の -等分点に対するコールマンべ…

… においては，不分岐類体論を使ってイデアル類群を岩澤加群と結びつけます。Step 2. においては，基本岩澤加群に関する完全系列に対して「蛇の補題」を適用し，最後にp進的な性質を少し使うことで導くことができます。蛇の補題は，tsujimotterのお気に入りの定理なのですが，この蛇の補題を使った証明に感激したことがきっかけでした。それでは，順を追って解説しましょう。 Step 1. の証明の流れ 第 中間体 のイデアル類群を とします。 不分岐類体論により， の最大不分岐アー…

これまで「類体論」の勉強をしてきましたが，その集大成となる記事を書きたいと思います。本日扱いたいのは，およそ一年前に紹介した以下の問題です。 の形でかける素数はどのような法則を満たすか？その一年前の記事はこちら： tsujimotter.hatenablog.com 背景を簡単に説明しましょう。まず， の判別式 はより得られます。判別式 の二次形式には，全部で３通りの「類」が存在します。上記の類のうちに属する二次形式のことを principal form と呼びます。素数 が…

前回に引き続き類体論に関するお話です。続きものなので，ぜひ以下の記事を読んでからきてください。 tsujimotter.hatenablog.com tsujimotter.hatenablog.com今日の主役は 二次体 です。二次体とは，平方因子を持たない に対して の形で与えられる の二次拡大体のことです。一見簡単そうな形をしていますが，実は結構奥が深いのです。前回の記事の最後に述べた通り，二次体の分解法則は円分体の分解法則の導出の延長線上で導くことができるのです。しか…

…ているので，円分体の類体論を復習しつつ，言い足りなかったことを少し補足したいと思います。復習するテーマは大きく分けて以下の２つです。 ・ガロア拡大における分解法則とフロベニウス ・円分体の素イデアル分解法則この記事のすぐあとに，続きの記事を書きたいと思っています。今回の記事はそのための準備です。例によって，少々レベルが高い記事になりますが，よかったら合わせて読んでみてください。 復習１：ガロア拡大における分解法則とフロベニウス まずは，問題設定とモチベーションを思い出しましょ…

しばらく類体論周辺の話を書きたいと思っています。今日は後の記事のための補助的な内容を書きたいと思います。今日のテーマは円分体の分岐についての定理。定理： で分岐する素数（エル）を素数とし， を１の原始 乗根とする。 において の素イデアル分解を考えると が成り立つ。すなわち， は で完全分岐する。具体例で考えましょう。 で考えると， で素数 は分岐します。分岐する次数は となってこれは完全分岐です。 また， で考えると， で素数 は分岐します。分岐する次数は となってこれも完…

…る」という，円分体の類体論により自然に導かれるものです。ところが，この法則を用いてつくられた７角形の具体例を見たことがありませんでした。きっと上にあげた「4 で割って 1 あまる素数」や「3 で割って 1 あまる素数」の法則と比べて，問題が複雑すぎるのが原因でしょう。しかし，数を愛する者としては，4 や 3 だけを特別扱いしたくありません。というわけで，おそらく誰も見たことがないであろう「2017 の素因数分解がつくる７角形」の作図に挑戦してみたいと思います。 まず， は で…

…が、これが「円分体の類体論」という極めて美しい理論の帰結として得られます。参考： tsujimotter.hatenablog.com すなわち、今回紹介したようなルールは、類体論の系として得ることができます。しかも、類体論にしたがう範囲で、このようなルールは無数に作ることができます。面白いですね！！！ まとめ フェルマーゲームは、素数をある程度知っている人なら簡単にチャレンジできて、拡張性も十分。さらに、類体論のような興味深い数学の理論が背景にあり、そのエッセンスを味わうこ…

…でした。一般的には「類体論」とよばれる理論があって，その系として上記の話は示されるそうです。「類体論までは踏み込まずとも，その手前ぐらい（具体的には「ヒルベルトの理論」くらいまで）は理解したい」そう思って，今まで斜め読みしかしていなかった専門書に本腰入れて取り組むことに決めました。*1ようやくその正体がわかってきて，先日は「フロベニウス自己同型」の素晴らしさに感動しました。今日は，その感動を文章として残すべく（そして，自分の理解度を試すべく）記事をかきたいと思います。「ガロア…

…ト予想解決への道 (類体論と非可換類体論 1)作者: 加藤和也出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 2009/01/29メディア: 単行本 クリック: 67回この商品を含むブログ (7件) を見る第３章「非可換類体論とは」において，加藤先生が「わかりやすいすぐれた書物である」と太鼓判をおしていました。「これは買わなければ」と勢いよく Amazon で注文したのですが，まさに買って大正解でした。今回のケースに限らず，多くの高次剰余とモジュラー形式との関係について具体例を挙げて計…